《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

11. 先化简,再求值：
(1) $5a(a^{2}-3a + 1)-a^{2}(1 - a)$,其中 $a = 1$；
(2) $\left(-\frac{1}{3}xy\right)^{2}[xy(2x - y)-2x(xy - y^{2})]$,其中 $x = 3$,$y = 2$。

答案： 解:
(1)原式$=5a^{3}-15a^{2}+5a-a^{2}+a^{3}=6a^{3}-16a^{2}+5a.$当$a=1$时,原式$=6-16+5=-5.$
(2)原式$=\frac {1}{9}x^{3}y^{2}(2x^{2}y-xy^{2}-2x^{2}y+2xy^{2})=\frac {1}{9}x^{3}y^{2}\cdot xy^{2}=\frac {1}{9}x^{4}y^{4}.$当$x=3,y=2$时,原式$=\frac {1}{9}×3^{4}×2^{4}=\frac {1}{9}×81×16=144.$

12. 如图,两个正方形的边长分别为 $a$,$b$,你能用 $a$,$b$ 表示阴影部分的面积吗？若 $a = 12$,$b = 5$,则阴影部分的面积是多少？

答案： 解:阴影部分的面积$=b^{2}+\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}b(a+b)=\frac {a^{2}+b^{2}-ab}{2}.$当$a=12,b=5$时,原式$=\frac {144+25-12×5}{2}=54.5.$

13. 已知计算 $(5 - 3x + mx^{2}-6x^{3})\cdot(-2x^{2})-x(-3x^{3}+nx - 1)$ 的结果中不含 $x^{4}$ 和 $x^{2}$ 的项,求 $m$,$n$ 的值。

答案： 解:$(5-3x+mx^{2}-6x^{3})\cdot (-2x^{2})-x(-3x^{3}+nx-1)$$=-10x^{2}+6x^{3}-2mx^{4}+12x^{5}+3x^{4}-nx^{2}+x$$=12x^{5}+(3-2m)x^{4}+6x^{3}+(-10-n)x^{2}+x,$由结果中不含$x^{4}$和$x^{2}$的项,得$3-2m=0,-10-n=0,$解得$m=1.5,n=-10.$

14. 已知 $ab = 3$,求 $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)$ 的值。

答案： 解:原式$=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab.$$\because ab=3,$
∴原式$=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3$$=-108+54-24$$=-78.$

15. 某同学在计算一个多项式乘 $-3x^{2}$ 时,因抄错运算符号,算成了加上 $-3x^{2}$,得到的结果是 $x^{2}-4x + 1$,那么正确的计算结果是多少？

答案： 解:由题意得$x^{2}-4x+1-(-3x^{2})=4x^{2}-4x+1,$则正确的计算结果为$(4x^{2}-4x+1)\cdot (-3x^{2})=-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}.$

16. 已知 $x(x - m)+n(x + m)= x^{2}+5x - 6$ 对任意数都成立,求 $m(n - 1)+n(m + 1)$ 的值。

答案： 解:$\because x(x-m)+n(x+m)$$=x^{2}-mx+nx+mn$$=x^{2}+(n-m)x+mn,$$\therefore \left\{\begin{array}{l} n-m=5,\\ mn=-6,\end{array}\right. $$\therefore m(n-1)+n(m+1)=n-m+2mn=5-12=-7.$