《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

1. 我们定义:如果两个等腰三角形顶角相等,且顶角顶点互相重合,则称此图形为手拉手全等模型. 因为顶点相连的四条边可以形象地看作两双手,所以通常称为手拉手全等模型.
(1) 如图 1,△ABC 与△ADE 都是等腰三角形,其中∠BAC = ∠DAE,则△ABD≌△ACE.
(2) 如图 2,已知△ABC 与△ADE 都是等腰三角形,AB = AC,AD = AE,且∠BAC = ∠DAE,求证:BD = CE.
类型二:一线三等角模型
证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;

答案： 1.
(1)ACE
(2)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;

2. 数学课上,老师给出了一个模型:如图 1,点 A 在直线 DE 上,且∠BDA = ∠BAC = ∠AEC = 90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为一线三等角模型.
(1) 如图 2,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CB = CA,直线 ED 经过点 C,过点 A 作 AD⊥ED 于点 D,过点 B 作 BE⊥ED 于点 E. 求证:△BEC≌△CDA.
(2) 如图 3,在△ABC 中,AB = AC,D,A,E 三点都在直线 m 上,且∠BDA = ∠AEC = ∠BAC. 求证:BD + CE = DE.
(3) 如图 4,在△ACB 中,∠ACB = 90°,AC = BC,点 C 的坐标为(-2,0),点 A 的坐标为(-6,3),求点 B 的坐标.

类型三:倍长中线模型

答案：
2.
(1)证明:
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠BEC=∠CDA=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠BCE=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA,∠EBC=∠DCA,CB=AC,
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)证明:
∵∠ABD+∠BDA=∠CAE+∠BAC,∠BDA=∠BAC,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD+CE=AE+AD=DE.
(3)解:如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F

∵C(−2,0),A(−6,3),
∴OC=2,OE=6,AE=3,
∴CE=OE−OC=6−2=4.
由
(1)可知△AEC≌△CFB(AAS),
∴CF=AE=3,BF=CE=4,
∴OF=CF−OC=3−2=1,
∴B(1,4).