《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

10. 下列命题：①若 $ a ＞ b $,则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $；②全等三角形的对应边相等；③直角三角形两锐角互余。其中原命题与逆命题均为真命题的个数为 (C)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： C

11. 在锐角三角形 $ ABC $ 内一点 $ P $ 满足 $ PA = PB = PC $,则点 $ P $ 是 $ \triangle ABC $ (D)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点

答案： D

12. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 105^{\circ} $,$ AC $ 的垂直平分线 $ MN $ 交 $ BC $ 于点 $ N $,且 $ AB + BN = BC $,则 $ \angle B $ 的度数是50°。

答案： 50°

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB $ 边的垂直平分线 $ l_{1} $ 分别交 $ AB $,$ BC $ 于点 $ D $,$ E $,$ AC $ 边的垂直平分线 $ l_{2} $ 分别交 $ AC $,$ BC $ 于点 $ F $,$ G $,$ \triangle AEG $ 的周长为 $ 22cm $。
(1) 线段 $ BC $ 的长为22cm。
(2) 若 $ \angle BAC = n^{\circ}(n ＞ 90) $,则 $ \angle EAG = $(2n−180)°。
(3) 设直线 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 交于点 $ O $,连接 $ OA $,$ OB $,$ OC $。
①试判断点 $ O $ 是否在 $ BC $ 的垂直平分线上,并说明理由；
②若 $ \triangle OBC $ 的周长为 $ 46cm $,求线段 $ OA $ 的长。

答案：
(1)22cm
(2)(2n−180)°
(3)①点O在BC的垂直平分线上.理由:如图.
∵l₁,l₂分别是AB,AC的垂直平分线，
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上②
∵△OBC的周长为46cm,
∴OB+OC+BC=46cm.
∵OA=OB=OC,BC=22cm,
∴OA=$\frac{1}{2}$×(46−22)=12(cm).

14. 【问题发现】
我们知道“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”,那么不在线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
(1) 如图 $ 1 $,直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线,点 $ P $ 在直线 $ l $ 的左侧,经测量,$ PA ＜ PB $,请证明这个结论；
【迁移研究】
(2) 如图 $ 2 $,直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线,点 $ C $ 在直线 $ l $ 外,且与点 $ A $ 在直线 $ l $ 的同侧,$ D $ 是直线 $ l $ 上的任意一点,连接 $ AD $,$ BC $,$ CD $,试判断 $ BC $ 和 $ AD + CD $ 之间的大小关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:如图1,连接PA,PB,PB交直线l于点M,连接AM.
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM,
∴PB=PM+MB=PM+AM.
∵PM+AM＞PA,
∴PA＜PB.
(2)解:AD+CD≥BC;理由:当D不在线段BC上时,如图2,连接BD.
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵BD+CD＞BC,
∴AD+CD＞BC.当D在线段BC上时,AD+CD=BC.
∴AD+CD≥BC.