《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

8. 如图,上午 8 时,一艘船从 A 处出发以 30 海里/时的速度向正北航行,12 时到达 B 处,测得∠NAC = 32°,∠ABC = 116°. 求从 B 处到灯塔 C 的距离.

答案： 解:根据题意,得AB=30×4=120(海里).
　在△ABC中,∠NAC=32°,∠ABC=116°,
∴∠C=180°−∠NAC−∠ABC=32°,
∴∠C=∠NAC,
∴BC=AB=120海里,
　即从B处到灯塔C的距离是120海里.

9. 如图,△ABC 的边 AB 的延长线上有一点 D,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,交 BC 于点 E,且 BD = BE. 求证：AB = BC.

答案： 证明:
∵DF⊥AC,
∴∠DFA=∠EFC=90°,
∴∠A=90°−∠D,∠C=90°−∠CEF.
∵BD=BE,
∴∠BED=∠D.
∵∠BED=∠CEF,
∴∠D=∠CEF,
∴∠A=∠C,
∴AB=BC.

10. 如图,点 E 在△ABC 的 AC 边的延长线上,点 D 在 AB 边上,DE 交 BC 于点 F,DF = EF,BD = CE. 求证：△ABC 是等腰三角形.

答案：
证明:如图,过点D作DG//AC交BC于点G.
　　　　　　　　
∵DG//AC,
∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.
　　在△GDF和△CEF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GDF=∠E,\\ DF=EF,\\ ∠DFG=∠EFC,\end{array}\right. $
∴△GDF≌△CEF(ASA),
∴GD=CE.
∵BD=CE,
∴BD=GD,
∴∠B=∠DGB=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.

11. 在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,D 为 BC 的中点.
(1) 如图 1,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BE = AF,求证：△DEF 为等腰直角三角形.
(2) 如图 2,若 E,F 分别为 AB,CA 延长线上的点,仍有 BE = AF,其他条件不变,那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.
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答案：

(1)证明:如图1,连接AD.
　　　　　　　　　
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点，
∴AD⊥BC,BD=AD,
∴∠B=∠DAC=45°.
　在△BDE和△ADF中,$\left\{\begin{array}{l} BD=AD,\\ ∠B=∠DAF,\\ BE=AF,\end{array}\right. $
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
(2)△DEF仍为等腰直角三角形.
　证明:如图2,连接AD.
　　　　　　　　
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠DAC=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°.
　在△DAF和△DBE中,$\left\{\begin{array}{l} DA=DB,\\ ∠DAF=∠DBE,\\ AF=BE,\end{array}\right. $
∴△DAF≌△DBE(SAS),
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.