《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

10. 观察下列因式分解：
$a^{2}-2ab + b^{2}-c^{2}= (a^{2}-2ab + b^{2})-c^{2}= (a - b)^{2}-c^{2}= (a - b + c)(a - b - c)$。
试用上述解法分解因式：$b^{2}+c^{2}-a^{2}+2bc$。

答案： 解:原式$=(b^{2}+2bc+c^{2})-a^{2}=(b+c)^{2}-a^{2}=(b+c+a)(b+c-a).$

11. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。

答案： 解:$\triangle ABC$是等边三角形.理由:$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0,$$\therefore 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)=0,$$\therefore 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0,$$\therefore (a^{2}+b^{2}-2ab)+(b^{2}+c^{2}-2bc)+(a^{2}+c^{2}-2ac)=0,$$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=0.$$\because (a-b)^{2}\geq0,(b-c)^{2}\geq0,(a-c)^{2}\geq0,$$\therefore a-b=0,b-c=0,a-c=0,$$\therefore a=b=c,$$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.

12. 阅读理解：对于二次三项式$x^{2}+2ax + a^{2}可以直接用公式法分解为(x + a)^{2}$的形式,但对于二次三项式$x^{2}+2ax - 3a^{2}$,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式$x^{2}+2ax - 3a^{2}中先加上一项a^{2}$,使其成为完全平方式,再减去$a^{2}$这项,使整个式子的值不变。于是有$x^{2}+2ax - 3a^{2}= x^{2}+2ax - 3a^{2}+a^{2}-a^{2}= x^{2}+2ax + a^{2}-a^{2}-3a^{2}= (x + a)^{2}-(2a)^{2}= (x + 3a)(x - a)$。
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫添(拆)项法。
(1)请用上述方法把$x^{2}-4x + 3$分解因式。
(2)多项式$x^{2}+2x + 2$有最小值吗？如果有,那么当它有最小值时,$x$是多少？
(3)请用上述方法把$x^{4}+x^{2}+1$分解因式。

答案： 12.解:
(1)原式$=x^{2}-4x+3+1-1=(x-2)^{2}-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).$
(2)有最小值.理由:$x^{2}+2x+2=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1,$$\because (x+1)^{2}\geq0,$$\therefore (x+1)^{2}+1\geq1,$$\therefore$当$x=-1$时,$x^{2}+2x+2$有最小值,最小值是1.
(3)原式$=x^{4}+2x^{2}-2x^{2}+x^{2}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}+x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1).$