《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

二、填空题(共 20 分)
9 [2025 安徽淮南期中]如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,E 是 AB 上一点,且 BE = BC,DE ⊥ AB 于点 E,交 AC 于点 D. 若 AC = 8,则 AD + DE 的值为 8.

答案： 8 【解析】如图,连接BD.
∵∠C = 90°,DE⊥AB于点E,
∴∠BED = ∠C = 90°.在Rt△BED和Rt△BCD中,BD = BD,BE = BC,
∴Rt△BED≌Rt△BCD(HL),
∴DE = DC,
∴AD+DE = AD+DC = AC = 8,故答案为8.

10 如图,把△ABC 放置在平面直角坐标系中,已知 AB = BC,∠ABC = 90°,A(3,0),B(0,-1),点 C 在第四象限,则点 C 的坐标是(1,-4).

答案： (1,-4) 添加辅助线 过点C作CD⊥y轴于点D,构造一线三垂直模型. 根据∠OAB+∠OBA = 90°,∠OBA+∠DBC = 90°,得到∠OAB = ∠DBC,结合∠AOB = ∠BDC,AB = BC,即可证出△OAB≌△DBC(AAS),根据全等三角形的性质即可得出BD = AO,DC = OB,再结合点A,B的坐标即可得出DC,OD的长度,进而可得出点C的坐标. 【解析】过点C作CD⊥y轴于点D,如图所示,
∴∠BDC = 90°.
∵∠ABC = 90°,∠AOB = 90°,
∴∠OAB+∠OBA = 90°,∠OBA+∠DBC = 90°,
∴∠OAB = ∠DBC.在△OAB和△DBC中,∠AOB = ∠BDC = 90°,∠OAB = ∠DBC,AB = BC,
∴△OAB≌△DBC(AAS),
∴BD = AO,DC = OB.
∵A(3,0),B(0,-1),
∴BD = AO = 3,DC = OB = 1,OD = OB+BD = 4,
∴点C的坐标为(1,-4). 故答案为(1,-4).

11 [2025 浙江台州期中]如图,在△ABC 中,AH 是高,AE // BC,AB = AE,在 AB 边上取点 D,连接 DE,DE = AC,若 S△ABC = 5S△ADE,BH = 1,则 BC = $\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$ 【解析】如图,过点E作EP⊥BA,交BA的延长线于P,
∴∠P = ∠AHB = 90°.
∵AE//BC,
∴∠EAP = ∠CBA.在△AEP和△BAH中,∠P = ∠AHB,∠PAE = ∠B,AE = AB,
∴△AEP≌△BAH(AAS),
∴AP = BH,PE = AH.在Rt△DEP和Rt△CAH中,DE = AC,PE = AH,
∴Rt△DEP≌Rt△CAH(HL),
∴CH = DP,S△ACH = S△DPE.
∵S△ABC = S△ABH+S△AHC = 2S△ABH+S△ADE = 5S△ADE,
∴S△ABH:S△ADE = 2:1,
∴BH:AD = 2:1.
∵BH = 1,
∴AD = $\frac{1}{2}$,
∴DP = CH = 1+$\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$,
∴BC = BH+CH = 1+$\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$,故答案为$\frac{5}{2}$.

12 如图(1),已知 AB = AC,D 为∠BAC 的平分线上一点,连接 BD,CD,则全等三角形的对数是1;
如图(2),已知 AB = AC,D,E 为∠BAC 的平分线上两点,连接 BD,CD,BE,CE,则全等三角形的对数是3;
如图(3),已知 AB = AC,D,E,F 为∠BAC 的平分线上三点,连接 BD,CD,BE,CE,BF,CF,则全等三角形的对数是6;
……
按此规律,第 n 个图形中全等三角形的对数是$\frac{n(n+1)}{2}$.

答案： 1 3 6 $\frac{n(n+1)}{2}$ 【解析】题图
(1)中,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD = ∠CAD.在△ABD与△ACD中,AB = AC,∠BAD = ∠CAD,AD = AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴题图
(1)中有1对全等三角形.同理,题图
(2)中,△ABE≌△ACE,
∴BE = EC.
∵△ABD≌△ACD,
∴BD = CD.在△BDE和△CDE中,EB = EC,BD = CD,DE = DE,
∴△BDE≌△CDE(SSS).
∴题图
(2)中有3对全等三角形.同理,题图
(3)中有6对全等三角形.由此发现,第n个图形中全等三角形的对数是$\frac{n(n+1)}{2}$.故答案为1,3,6,$\frac{n(n+1)}{2}$.

13 [2025 安徽六安期末]在△ABC 中,AB = AC,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,CE = BD.
(1)如图(1),若∠BAC = 90°,求证:AE = AD.
(2)如图(2),若∠BAC = α(90° ＜ α ＜ 180°),则线段 AE 与线段 AD 相等吗? 如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由.

答案：
(1)【证明】
∵∠BAC = 90°,
∴△BAD,△CAE均为直角三角形.又
∵AB = AC,BD = CE,
∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL),
∴AE = AD.
(2)【解】相等. 证明如下:如图所示,过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M,过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N.
∵∠M = ∠N = 90°,∠CAM = ∠BAN,CA = BA,
∴△CAM≌△BAN(AAS),
∴CM = BN,AM = AN.
∵∠M = ∠N = 90°,CE = BD,CM = BN,
∴Rt△CME≌Rt△BND(HL),
∴EM = DN.
∵AM = AN,
∴AE = AD.