《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1[中]如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE= AB,∠BAC= ∠BCA. 求证：AE= 2AD.

答案：
【证明】如图,延长AD至M,使DM = AD,连接CM.因为AD是△ABC的中线,所以BD = CD.在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases}BD = CD\\∠ADB = ∠MDC\\AD = MD\end{cases}$
所以△ABD≌△MCD(SAS),所以MC = AB,∠B = ∠MCD.因为AB = CE,所以CM = CE.因为∠BAC = ∠BCA,所以∠B + ∠BAC = ∠ACB + ∠MCD,即∠ACE = ∠ACM.在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases}AC = AC\\∠ACE = ∠ACM\\CE = CM\end{cases}$
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以AE = AM.因为AM = 2AD,所以AE = 2AD.

2[2025安徽安庆校级期末,中]某数学兴趣小组在一次综合实践活动中进行了如下探究.
【探究与发现】
(1)如图(1),AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED= AD,连接BE,求证：△ACD≌△EBD.
【理解与应用】
(2)如图(2),EP是△DEF的中线,若EF= 5,DE= 3,设EP= x,则x的取值范围是____.
(3)如图(3),AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF. 求证：BE+CF＞EF.

答案：

(1)【证明】
∵AD是△ABC的中线,
∴CD = BD.在△ACD和△EBD中,
$\begin{cases}CD = BD\\∠ADC = ∠BDE\\AD = ED\end{cases}$
∴△ACD≌△EBD(SAS).
(2)【解】如图
(1),延长EP至点M,使PM = EP,连接DM,则EM = 2EP.
∵EP是△EFD的中线,
∴FP = PD.在△EPF和△MPD中,
$\begin{cases}EP = MP\\∠EPF = ∠MPD\\FP = DP\end{cases}$
∴△EPF≌△MPD(SAS),
∴DM = EF = 5.在△EMD中,DM - ED ＜ EM ＜ ED + DM,
∴5 - 3 ＜ 2x ＜ 5 + 3,
∴1 ＜ x ＜ 4.故答案为1 ＜ x ＜ 4.

(3)【证明】如图
(2),延长FD至点G,使GD = DF,连接BG,EG.
∵AD是△ABC的中线,
∴DC = DB.在△DFC和△DGB中,
$\begin{cases}DF = DG\\∠CDF = ∠BDG\\DC = DB\end{cases}$
∴△DFC≌△DGB(SAS),
∴BG = CF.在△EDF和△EDG中,
$\begin{cases}DF = DG\\∠FDE = ∠GDE = 90°\\DE = DE\end{cases}$
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF = EG.在△BEG中,BG + BE ＞ EG.
∵EF = EG,BG = CF,
∴BE + CF ＞ EF.

3[中]如图,已知四边形ABCD中,AD//BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC长度的大小关系是 ( )


A.AB＞AD+BC
B.AB＜AD+BC
C.AB= AD+BC
D.无法确定

答案：
C【解析】补短法:如图
(1),延长AE交BC延长线于F.因为AD//CB,所以∠CBA + ∠BAD = 180°.因为BE平分∠CBA,AE平分∠BAD,所以∠EBA + ∠BAE = 90°,所以∠BEA = 180° - 90° = 90°,所以BE⊥AF.在△ABE和△FBE中,
$\begin{cases}∠BAE = ∠BFE\\BE = BE\\∠AEB = ∠FEB\end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(ASA),所以BA = BF,AE = FE.因为AD//CB,所以∠EAD = ∠F.在△ADE和△FCE中,
$\begin{cases}∠EAD = ∠F\\AE = EF\\∠AED = ∠FEC\end{cases}$
所以△ADE≌△FCE(ASA),所以AD = CF,所以AB = BF = BC + CF = BC + AD.故选C.
截长法:如图
(2),在AB上截取AF = AD,连接EF.因为AD//BC,所以∠ABC + ∠DAB = 180°.又因为BE平分∠ABC,AE平分∠DAB,所以∠ABE + ∠EAB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠DAB)= 90°,所以∠AEB = 90°,即∠2 + ∠4 = 90°.在△ADE和△AFE中,
$\begin{cases}AD = AF\\∠DAE = ∠FAE\\AE = AE\end{cases}$
所以△ADE≌△AFE(SAS),所以∠1 = ∠2.又因为∠2 + ∠4 = 90°,所以∠1 + ∠3 = 90°,所以∠3 = ∠4.在△BCE和△BFE中,
$\begin{cases}∠CBE = ∠FBE\\BE = BE\\∠3 = ∠4\end{cases}$
所以△BCE≌△BFE(ASA),所以BC = BF,所以AB = AF + BF = AD + BC.故选C.

4[2025安徽合肥肥西校级期末,较难]如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O.
(1)求证：∠BOC= $\frac{1}{2}$∠A+90°.
(2)如图(1),若∠A= 60°,请写出BE,CD,BC的数量关系,并说明理由.
(3)如图(2),∠A= 90°,F是ED的中点,连接FO.
①求证：BC-BE-CD= 2OF.
②延长FO交BC于点G,若OF= 2,△DEO的面积为10,直接写出OG的长.

答案：

(1)【证明】
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)= 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)= 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)= $\frac{1}{2}$∠A + 90°.
(2)【解】BE + CD = BC.理由如下:如图
(1),在BC上截取BM = BE,连接OM.
∵∠BOC = $\frac{1}{2}$∠A + 90° = 120°,
∴∠BOE = 60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBO = ∠MBO.
又
∵OB = OB,BE = BM,
∴△BOE≌△BOM(SAS),
∴∠BOE = ∠BOM = 60°,
∴∠MOC = ∠DOC = 60°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠DCO = ∠MCO.
在△DCO与△MCO中,
$\begin{cases}∠DCO = ∠MCO\\OC = OC\\∠DOC = ∠MOC\end{cases}$
∴△DCO≌△MCO(ASA),
∴CM = CD,
∴BC = BM + CM = BE + CD.
(3)①【证明】如图
(2),延长OF到点M,使MF = OF,连接EM,
∴OM = 2OF.
∵F是ED的中点,
∴EF = DF.
∵∠DFO = ∠EFM,
∴△ODF≌△MEF(SAS),
∴OD = EM.
过点O作CE,BD的垂线,分别交BC于点K,H,
∴∠OCK + ∠OKC = 90°.
∵∠A = 90°,
∴∠ACE + ∠AEC = 90°.
∵∠ACE = ∠OCK,
∴∠AEO = ∠OKC,
∴∠BEO = ∠BKO.
又
∵∠EBO = ∠KBO,BO = BO,
∴△OBE≌△OBK(AAS),
同理可得△ODC≌△OHC(AAS),
∴EO = OK,OD = OH = EM,BE = BK,CD = CH.
由
(1)可知∠DOE = ∠BOC = $\frac{1}{2}$×90° + 90° = 135°,
∴∠BOE = ∠COD = 45°,
∴∠OEM = ∠KOH = 45°,
∴△OME≌△KHO(SAS),
∴KH = OM,
∴KH = 2OF.
∵BC - BK - CH = KH = 2OF,
∴BC - BE - CD = 2OF.
②【解】OG = 5.
如图
(2),
∵△OME≌△KHO,
∴∠EOM = ∠OKH,
∴∠OGK = 90°,
∴FG⊥BC.
由①可知KH = 2OF = 4,△ODF≌△MEF,
∴S△DEO = S△OME = S△KHO = 10,
∴$\frac{1}{2}$KH·OG = 10,即$\frac{1}{2}$×4×OG = 10,
∴OG = 5.
思路分析
(2)在BC上截取BM = BE,连接OM,证△BOE≌△BOM(SAS).