《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

如图,在$△ABD和△ACE$中,$AB = AD$,$AC = AE$,$∠BAD = ∠CAE$,连接$BE$,$CD$,则$BE与CD$之间的大小关系是 (A)
A.$BE = CD$
B.$BE＞CD$
C.$BE＜CD$
D.无法确定

答案： 1.A　[解析]
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAC.在△BAE和△DAC中，{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC}，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴BE=CD，故选A.

2 [中]如图(1),$A$,$B$两点分别位于一个池塘的两端,点$C是AE$的中点,也是$BD$的中点,图(2)表示的是小明从$D点走到E点时路程s$(米)与时间$t$(分)的关系,已知小明从$D点到E$点走了3分钟,则$A$,$B$间的距离是 (D)



A.100米
B.150米
C.300米
D.450米

答案： 2.D　[解析]由题图
(2)知，小明从D点走到E点的速度为300÷2=150(米/分)，
∴DE=150×3=450(米).
∵点C是AE的中点，也是BD的中点，
∴AC=EC，BC=DC.在△ACB和△ECD中，{AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC}，
∴△ACB≌△ECD(SAS)，
∴AB=DE=450米，故选D.

如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 20cm$,点$E在边AD$上,且$AE = 12cm$. 动点$P在边AB$上,从点$A出发以4cm/s的速度向点B$运动,同时,点$Q在边BC$上,以$vcm/s的速度由点B向点C$运动,若在运动过程中存在$△EAP与△PBQ$全等的时刻,则$v$的值为4或$\frac{24}{5}$.

答案： 3.4或$\frac{24}{5}$　[解析]设运动时间为ts，则AP=4tcm，BP=AB−AP=(20−4t)cm，BQ=vtcm.
∵在长方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴①当AE=BP，AP=BQ，即12=20−4t，4t=vt时，△AEP≌△BPQ(SAS)，解得t=2，v=4；②当AE=BQ，AP=BP，即12=vt，4t=20−4t时，△AEP≌△BQP(SAS)，解得t=$\frac{5}{2}$，v=$\frac{24}{5}$.综上所述，v的值为4或$\frac{24}{5}$.故答案为4或$\frac{24}{5}$.

4 新考法 [2025安徽阜阳期末,较难]如图(1),在$Rt△ABC$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,$BD$是高,$E是△ABC$外一点,$BE = BA$,$∠E = ∠C$,若$DE = \frac{2}{5}BD$,$AD = 16$,$BD = 20$,求$△BDE$的面积. 小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在$BD上截取BF = DE$,连接$AF$(如图(2)). 同学们,根据小颖的提示,完成下列各题.
(1)$△BDE\cong$____△AFB；
(2)$△BDE$的面积为____64.

答案： 4.
(1)△AFB
(2)64　[解析]
(1)如题图
(2)所示，∠ABD=180°−∠BDA−∠BAD=90°−∠BAD，∠C=180°−∠ABC−∠BAD=90°−∠BAD，
∴∠ABD=∠C.
∵∠E=∠C，
∴∠ABD=∠E.在△BDE与△AFB中，{BE=AB,∠BED=∠ABF,DE=FB}，
∴△BDE≌△AFB(SAS)，故答案为△AFB.
(2)
∵△BDE≌△AFB，
∴S△ABF=S△BDE.
∵BF=DE=$\frac{2}{5}$BD=$\frac{2}{5}$×20=8，
∴S△ABF=$\frac{1}{2}$BF·AD=$\frac{1}{2}$×8×16=64，
∴S△BDE=S△ABF=64.故答案为64.

5 [2024北京西城区校级期中,中]已知一个三角形的两条边长分别是$1cm和2cm$,一个内角为$40^{\circ}$.
(1)请你借助如图所示图形画出一个满足题中条件的三角形.
(2)你是否还能画出既满足题中条件,又与(1)中所画三角形不全等的三角形？若能,请你用尺规画出一个这样的三角形；若不能,请说明理由. (请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度. 不要求写作法,保留作图痕迹)
(3)如果将题中条件改为“三角形的两条边长分别是$3cm和4cm$,一个内角为$40^{\circ}$”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有____个.

答案：
5.【解】
(1)在40°角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm长的线段，连接得到的两个线段端点即可得到满足条件的三角形，如图
(1)所示.(作法不唯一)

(2)能.如图
(2)所示的三角形即为所求.(作法不唯一，与
(1)中图形不全等即可)

(3)当40°角是边长为3cm与4cm两边的夹角时，△ABC如图
(3)所示;

当40°角是3cm边的对角时，△ABC₁及△AB₂C如图
(4)所示；当40°角是4cm边的对角时，△ABC₃如图
(5)所示.


综上，共有4个这样的三角形满足条件.故答案为4.

6 核心素养推理能力 [较难]如图(1),$BD$,$CE分别是△ABC中AC$,$AB$边上的高,点$P在BD$的延长线上,$CA = BP$,点$Q在线段CE$上,$QC = AB$,连接$AP$,$AQ$.
(1)写出$PA与AQ$之间的关系并证明；
(2)若把(1)中的$△ABC$改为钝角三角形,$AC＞AB$,$∠A$是钝角,其他条件不变,上述结论是否成立？请在图(2)中画出图形并证明你的结论.

答案：
6.【解】
(1)AP=AQ，AP⊥AQ.
证明:
∵BD，CE分别是△ABC中AC，AB边上的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB=90°，∠2+∠CAB=90°，
∴∠1=∠2.
思路分析：
(1)由题意易得出∠1=∠2，可证得△QAC≌△APB，从而可得结论；
(2)根据题意画出图形，同
(1)可证得△QAC≌△APB，从而可得结论.
在△QAC和△APB中，{QC=AB,∠1=∠2,CA=BP}，
∴△QAC≌△APB(SAS)，
∴AQ=AP，∠QAC=∠P.
∵∠DAP+∠P=90°，
∴∠DAP+∠QAC=90°，即∠QAP=90°，
∴AQ⊥AP.
(2)上述结论成立，画出图形如图所示.

证明如下:
∵BD，CE分别是△ABC中AC，AB边上的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠DAB=90°.
∵∠CAE=∠DAB，
∴∠1=∠2.在△QAC和△APB中，{QC=AB,∠1=∠2,CA=BP}，
∴△QAC≌△APB(SAS)，
∴AQ=AP，∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°，
∴∠P+∠PAD=90°，
∴∠QAC+∠PAD=90°，
∴∠QAP=90°，
∴AQ⊥AP.