《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

12 在△ABC 中,∠B = 40°,∠C = 30°,点 D 在 BC 边上,连接 AD,若△ACD 为直角三角形,则∠BAD 的度数为____.

答案：
50°或20°　[解析]如图
(1)，当∠DAC = 90°时，
∵∠C = 30°，
∴∠ADC = 90° - 30° = 60°.
∵∠B = 40°，
∴∠BAD = 60° - 40° = 20°.如图
(2)，当∠ADC = 90°时，
∵∠B = 40°，
∴∠BAD = ∠ADC - ∠B = 90° - 40° = 50°.


故答案为50°或20°.

13 [2025 安徽芜湖期中]如图,D 是△ABC 内一点,连接 AD,BD,CD,P 是∠BDC 的平分线的反向延长线上一点,连接 BP,∠ABP = 2∠PBD,△ABC 和△ACD 的外角平分线相交于点 Q,若∠Q = 45°,∠BDC = 4∠ABD,则∠P 的度数为____°.

答案：
50　[解析]如图，延长AD交BC于K，设PD的延长线交BC于E.

设∠PBD = α，则∠ABP = 2α，
∴∠ABD = ∠ABP + ∠PBD = 3α，
∴∠BDC = 4∠ABD = 12α.
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE = 1/2∠BDC = 6α，
∴∠P = ∠BDE - ∠PBD = 6α - α = 5α.在△ACQ中，∠QAC + ∠ACQ = 180° - ∠Q = 135°.
∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG，
∴∠FAC = 2∠QAC，∠ACG = 2∠ACQ，
∴∠FAC + ∠ACG = 2(∠QAC + ∠ACQ) = 270°，
∴∠BAC + ∠ACD = 180° - ∠FAC + 180° - ∠ACG = 90°.
∵∠BDC = ∠BDK + ∠CDK = ∠ABD + ∠BAD + ∠CAD + ∠ACD = ∠ABD + ∠BAC + ∠ACD，
∴12α = 3α + 90°，
∴α = 10°，
∴∠P = 5α = 50°，故答案为50.

14 [2025 吉林长春期末]图(1)、图(2)、图(3)均是 4×4 的正方形网格,每个小正方形的边长均为 1,小正方形的顶点称为格点,线段 AB 的端点均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求以 AB 为边画△ABC.
要求:
(1)在图(1)中画一个直角三角形,在图(2)中画一个锐角三角形,在图(3)中画一个钝角三角形.
(2)点 C 在格点上.

答案： 【解析】：
本题主要考查网格中按要求画三角形，需要根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的性质，结合网格特点来确定点$C$的位置。
对于直角三角形，可利用网格中垂直的线段来确定直角；对于锐角三角形，要保证三个角都小于$90^{\circ}$；对于钝角三角形，要保证有一个角大于$90^{\circ}$。
【答案】：
(1)
图（1）：在图
(1)中，取格点$C$，使得$AC\perp AB$，此时$\triangle ABC$是直角三角形。因为网格中相邻的垂直线段构成直角，通过观察网格特点可找到满足垂直条件的点$C$。
图（2）：在图
(2)中，取格点$C$，使得$\triangle ABC$的三个角都小于$90^{\circ}$，构成锐角三角形。可以通过尝试不同的格点，利用勾股定理等知识判断三角形的角的类型。
图（3）：在图
(3)中，取格点$C$，使得$\triangle ABC$有一个角大于$90^{\circ}$，构成钝角三角形。同样通过尝试不同格点，结合三角形内角和等知识来确定。
图略。

15 [2024 安徽六安金安区校级期中]概念学习:
已知△ABC,点 P 为其内部一点(包括△ABC 的三边),连接 PA,PB,PC,在△PAB,△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形,其内角与△ABC 的三个内角分别相等,那么就称点 P 为△ABC 的等角点.
理解应用:
(1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写“真命题”;反之,则写“假命题”.
①内角分别为 30°,60°,90°的三角形存在等角点:____;
②任意的三角形都存在等角点:____.
(2)如图,点 P 是锐角三角形 ABC 的等角点,若∠BAC = ∠PBC,探究图中∠BPC,∠ABC,∠ACP 之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)①真命题；②假命题；
(2)∠BPC = ∠ABC + ∠ACP.理由如下：如图，延长BP交AC于D.

∵∠BPC是△CPD的外角，
∴∠BPC = ∠CDP + ∠ACP.
∵∠CDP = ∠ABP + ∠BAC，
∴∠BPC = ∠ABP + ∠BAC + ∠ACP.
∵∠BAC = ∠PBC，
∴∠BPC = ∠ABP + ∠PBC + ∠ACP = ∠ABC + ∠ACP.

16 已知△ABC 的面积是 60,请完成下列问题:
(1)如图(1),若 AD 是△ABC 的 BC 边上的中线,则△ABD 的面积=△ACD 的面积(填“＞”“＜”或“= ”);
(2)如图(2),若 CD,BE 分别是△ABC 的 AB,AC 边上的中线,BE 与 CD 交于点 O,求四边形 ADOE 的面积可以用如下方法:连接 AO,由 AD = DB,得 S_{△ADO} = S_{△BDO},同理,S_{△CEO} = S_{△AEO}.设 S_{△BDO} = x,S_{△CEO} = y,则 S_{△ADO} = x,S_{△AEO} = y.由题意得 S_{△ABE} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = 30,S_{△ADC} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = 30,故可列方程组 $\begin{cases}2x + y = 30,\\x + 2y = 30,\end{cases} $ 解得x = 10，y = 10,从而得到四边形 ADOE 的面积为20;
(3)如图(3),已知 AD:DB = 1:3,CE:AE = 1:2,请你计算四边形 ADOE 的面积.
13

答案：
(1)=；
(2)x = 10，y = 10；20；
(3)13.