《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 [中]已知点 $ P $ 的坐标为 $ (a,b)(a ＞ 0) $,点 $ Q $ 的坐标为 $ (c,2) $,且 $ |a - c|+\sqrt{b - 8}= 0 $,将线段 $ PQ $ 向右平移 $ a $ 个单位长度,其扫过的面积为 24,那么 $ a + b + c $ 的值为(C)
A.12
B.14
C.16
D.20

答案： 1. C 【解析】因为|a - c| + √(b - 8) = 0，|a - c| ≥ 0，√(b - 8) ≥ 0，所以a - c = 0，b - 8 = 0，所以a = c，b = 8，所以P(a,8)，Q(a,2)，所以PQ = 6。因为线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，所以6a = 24，所以a = 4，所以a = c = 4，所以a + b + c = 4 + 8 + 4 = 16。故选C。

已知实数 $ m $ 和 $ n $ 是整数,且 $ m ＜ 0,n ＞ 2 $,将点 $ A(2m - 4,n - 3) $ 向右平移 10 个单位,再向下平移 2 个单位,得到点 $ B $。若点 $ B $ 位于第四象限,则点 $ C(m,n) $ 的位置有(D)
A.1 处
B.2 处
C.3 处
D.4 处

答案： 2. D 【解析】因为点A(2m - 4,n - 3)向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点B，所以B(2m + 6,n - 5)。因为点B位于第四象限，所以{2m + 6 ＞ 0，n - 5 ＜ 0}，所以{m ＞ -3，n ＜ 5}。又因为m和n是整数，且m ＜ 0，n ＞ 2，所以m可能是-1，-2，n可能是3，4，所以点C的坐标可能是(-1,3)，(-1,4)，(-2,3)，(-2,4)，故选D。

3 [2024 安徽宁国校级质检,中]如图所示,平面直角坐标系中,$ x $ 轴负半轴有一点 $ A(-1,0) $,点 $ A $ 第 1 次向上平移 1 个单位至点 $ A_1(-1,1) $,第 2 次向右平移 1 个单位至点 $ A_2(0,1) $,第 3 次向上平移 1 个单位至点 $ A_3(0,2) $,第 4 次向右平移 1 个单位至点 $ A_4(1,2) $,照此规律平移下去,点 $ A $ 平移至点 $ A_{2023} $ 时,点 $ A_{2023} $ 的坐标为______。

(1010,1012)

答案： 3. (1010,1012) 【解析】由题意可知，A₁(-1,1)，A₃(0,2)，A₅(1,3)，A₇(2,4)，…，A₂ₙ₋₁(-2 + n,n)，所以当2n - 1 = 2023时，解得n = 1012，所以-2 + n = -2 + 1012 = 1010，所以A₂₀₂₃(1010,1012)。故答案为(1010,1012)。

4 [2025 安徽铜陵期中,中]如图,平面直角坐标系的第一象限内有 $ P(m - 4,n),Q(m,n - 3) $ 两点,将线段 $ PQ $ 平移,使点 $ P,Q $ 分别落在两条坐标轴上,则点 $ P $ 平移后的对应点的坐标是______(0,3)或(-4,0)。

答案： 4. (0,3)或(-4,0) 【解析】设平移后点P，Q的对应点分别是P'，Q'。分两种情况：①点P'在y轴上，点Q'在x轴上，则点P'的横坐标为0，点Q'的纵坐标为0。因为0 - (n - 3) = -n + 3，所以n - n + 3 = 3，所以点P平移后的对应点的坐标是(0,3)。②点P'在x轴上，点Q'在y轴上，则点P'的纵坐标为0，点Q'的横坐标为0。因为0 - m = -m，所以m - 4 - m = -4，所以点P平移后的对应点的坐标是(-4,0)。综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0)。故答案为(0,3)或(-4,0)。

(1)如果点 $ A,B,A' $ 的坐标分别为 $ A(-2,1),B(1,-3),A'(2,3) $,直接写出点 $ B' $ 的坐标：__(5,-1)__。
(2)已知点 $ A,B,A',B' $ 的坐标分别为 $ A(m,n),B(2n,m),A'(3m,n),B'(6n,m) $,$ m $ 和 $ n $ 之间满足怎样的数量关系？说明理由。
m = 2n，理由：因为将线段AB平移得到线段A'B'，A(m,n)，B(2n,m)，A'(3m,n)，B'(6n,m)，所以3m - m = 6n - 2n，所以m = 2n。
(3)已知点 $ A,B,A',B' $ 的坐标分别为 $ A(m,n + 1),B(n - 1,n - 2),A'(2n - 5,2m + 3),B'(2m + 3,n + 3) $,求点 $ A,B $ 的坐标。
点A的坐标为(6,10)，点B的坐标为(8,7)。

答案： 5.【解】
(1)因为A(-2,1)平移后得到点A'的坐标为(2,3)，所以向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，所以B(1,-3)的对应点B'的坐标为(1 + 4,-3 + 2)，即(5,-1)。故答案为(5,-1)。
(2)m = 2n，理由：因为将线段AB平移得到线段A'B'，A(m,n)，B(2n,m)，A'(3m,n)，B'(6n,m)，所以3m - m = 6n - 2n，所以m = 2n。
(3)因为将线段AB平移得到线段A'B'，点A，B，A'，B'的坐标分别为A(m,n + 1)，B(n - 1,n - 2)，A'(2n - 5,2m + 3)，B'(2m + 3,n + 3)，所以2n - 5 - m = 2m + 3 - (n - 1)，2m + 3 - (n + 1) = (n + 3) - (n - 2)，解得m = 6，n = 9，所以点A的坐标为(6,10)，点B的坐标为(8,7)。

6 思想方法 数形结合 [难]对于平面直角坐标系中的图形 $ M $ 上的任意点 $ P(x,y) $,给出如下定义：将点 $ P(x,y) $ 平移到 $ P'(x + a,y - a) $ 称为将点 $ P $ 进行“$ a $ 型平移”,点 $ P' $ 称为将点 $ P $ 进行“$ a $ 型平移”的对应点；将图形 $ M $ 上的所有点进行“$ a $ 型平移”称为将图形 $ M $ 进行“$ a $ 型平移”。例如,将点 $ P(x,y) $ 平移到 $ P'(x + 1,y - 1) $ 称为将点 $ P $ 进行“1 型平移”,将点 $ Q(x,y) $ 平移到 $ Q'(x - 1,y + 1) $ 称为将点 $ Q $ 进行“-1 型平移”。如图,已知点 $ A(-1,4),B(2,3) $。
(1)画出线段 $ AB $ 进行“2 型平移”后的对应线段 $ A'B' $,并直接写出 $ A',B' $ 的坐标；
(2)(1)中的四边形 $ ABB'A' $ 的面积为______；
(3)将线段 $ AB $ 进行“$ a $ 型平移”后与 $ x $ 轴有公共点,则 $ a $ 的取值范围是______；
(4)将(1)中的四边形 $ ABB'A' $ 进行“$ a $ 型平移”后与坐标轴有公共点,则 $ a $ 的取值范围是______。

答案：
6.【解】
(1)如图，线段A'B'即为所求。A'(1,2)，B'(4,1)。

(2)如图，延长AB至T，使BT = AB，连接A'B，B'T，易知四边形ABB'A'的面积与四边形BA'B'T的面积相等，为2×4 - 2×1/2×1×1 - 2×1/2×1×3 = 4。故答案为4。
(3)将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点，易知a的取值范围为3 ≤ a ≤ 4。故答案为3 ≤ a ≤ 4。
(4)将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，则易得a的取值范围是-4 ≤ a ≤ 4。故答案为-4 ≤ a ≤ 4。