《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

如图,在平面直角坐标系中,若直线 $ y_1 = -x + a $($ a $ 为常数)与直线 $ y_2 = bx - 4 $($ b $ 为常数且 $ b \neq 0 $)相交于点 $ P $,则下列结论错误的是 ( C )
A.方程 $ -x + a = bx - 4 $ 的解是 $ x = 1 $
B.不等式 $ -x + a ＜ -3 $ 与不等式 $ bx - 4 ＞ -3 $ 的解集相同
C.不等式组 $ bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0 $ 的解集是 $ -2 ＜ x ＜ 4 $
D.方程组 $ \begin{cases} y + x = a, \\ y - bx = -4 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases} $

答案： 1.C 【解析】A 选项,因为直线y₁=-x+a(a 为常数)与直线y₂=bx-4(b 为常数且b≠0)相交于点P,点P的横坐标为1,所以方程-x+a=bx-4的解是x=1,故A 正确,不合题意;B选项,由图象可知,不等式-x+a＜-3的解集是x＞1,不等式bx-4＞-3的解集是x＞1,所以不等式-x+a＜-3与不等式bx-4＞-3的解集相同,故B 正确,不合题意;C 选项,将(1,-3)代入y=-x+a得a=-2,观察图象可知,不等式组bx-4＜-x+a＜0的解集是-2＜x＜1,故C错误,符合题意;D 选项,因为直线y₁=-x+a(a 为常数)与直线y₂=bx-4(b 为常数且b≠0)相交于点P(1,-3),所以方程组{y+x=a,y-bx=-4}的解是{x=1,y=-3},故D 正确,不合题意.故选C.

点 $ P(x, y) $ 是平面直角坐标系内的一个点,且它的横、纵坐标是二元一次方程组 $ \begin{cases} 3x - y = 2a - 4, \\ x + y = -a + 3 \end{cases} $ 的解($ a $ 为任意实数),则当 $ a $ 变化时,点 $ P $ 一定不会在 (C)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C 【解析】解方程组得{x=(a-1)/4,y=(-5a+13)/4.因为当y=(-5a+13)/4＜0时,a＞13/5,所以此时x=(a-1)/4＞0,所以当y＜0时,x＞0,所以点P一定不会在第三象限,故选C.

3 [2024 安徽安庆大观区校级期中,难] A,B 两城相距 600 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B 城,甲车到达 B 城后立即返回。如图是它们离 A 城的距离 $ y $(千米)与行驶时间 $ x $(时)之间的函数图象。
(1)求甲车行驶过程中 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)当它们行驶了 7 小时时,两车相遇,求乙车的速度及乙车行驶过程中 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3)在(2)的条件下,当两车相距 100 千米时,求甲车行驶的时间。

答案： 【解析】：
（1）首先，我们需要确定甲车在不同时间段的行驶情况。根据图像，我们可以将甲车的行驶过程分为两个阶段：去程（0-6小时）和回程（6-14小时）。
去程阶段（0-6小时）：
在这个阶段，甲车从A城出发，向B城行驶。由于速度恒定，所以行驶距离与时间成正比。设甲车去程的速度为$v_1$，则有：
$y = v_1x$
由图像可知，当$x=6$时，$y=600$，所以：
$600 = 6v_1$，
解得：
$v_1 = 100$（千米/小时），
因此，去程阶段的函数表达式为：
$y = 100x \quad (0 \leq x \leq 6)$
回程阶段（6-14小时）：
在这个阶段，甲车从B城返回A城。同样，由于速度恒定，所以行驶距离与时间成线性关系，但斜率应为负（因为距离在减少）。设甲车回程的速度为$v_2$，则有：
$y = 600 - v_2(x - 6)$，
由图像可知，当$x=14$时，$y=0$，所以：
$0 = 600 - 8v_2$，
解得：
$v_2 = 75$（千米/小时），
因此，回程阶段的函数表达式为：
$y = 600 - 75(x - 6) = -75x + 1050 \quad (6 ＜ x \leq 14)$
综上，甲车的函数表达式为：
$y = \begin{cases}100x, & 0 \leq x \leq 6 ,\\-75x + 1050. & 6 ＜ x \leq 14.\end{cases}$
（2）根据题目，当两车行驶了7小时时相遇。此时，甲车已经进入回程阶段，乙车仍在行驶中。
甲车7小时时的位置：
将$x=7$代入甲车回程的函数表达式中，得到：
$y = -75 × 7 + 1050 = 525$（千米），
乙车的速度：
由于两车在7小时时相遇，所以乙车此时也行驶了525千米。设乙车的速度为$v_3$，则有：
$525 = 7v_3$，
解得：
$v_3 = 75$（千米/小时），
乙车的函数表达式：
由于乙车一直向B城行驶，且速度恒定，所以其函数表达式为：
$y = 75x \quad (0 \leq x \leq 8)$，（因为$600{÷} 75=8$，所以$x$的取值范围是$0$到$8$）。
综上，乙车的速度为$75$千米/小时；乙车的函数表达式为$y = 75x \quad (0 \leq x \leq 8)$。
（3）当两车相距100千米时，我们需要分两种情况讨论：甲车在乙车前面100千米和甲车在乙车后面100千米。
甲车在乙车前面100千米：
此时，甲车的行驶距离比乙车多100千米。设甲车行驶的时间为$x$小时，则有：
$100x-75x= 100$（$0 \leq x \leq 6$），
$−75x + 1050-75x= 100$（$6 ＜ x \leq 8$），
解得：
$x = 4$或$x = \frac{19}{3}$，
甲车在乙车后面100千米：
此时，乙车的行驶距离比甲车多100千米。由于甲车在回程阶段速度会变慢，所以这种情况只可能发生在甲车回程阶段。设甲车行驶的时间为$x$小时（$6 ＜ x \leq 8$），则有：
$75x - (-75x + 1050) = 100$，
解得：
$x = \frac{23}{3}$，
综上，当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为4小时或$\frac{19}{3}$小时或$\frac{23}{3}$小时。
【答案】：
(1)$y = \begin{cases}100x, & 0 \leq x \leq 6 ,\\-75x + 1050. & 6 ＜ x \leq 14.\end{cases}$
(2) 乙车的速度为$75$千米/小时；乙车的函数表达式为$y = 75x \quad (0 \leq x \leq 8)$。
(3)甲车行驶的时间为4小时或$\frac{19}{3}$小时或$\frac{23}{3}$小时。

4 思想方法 数形结合 [难] 请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象和性质,并解决问题。
(1)①当 $ x = 0 $ 时,$ y = -2|x| + 2 = 2 $；
②当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y = -2|x| + 2 = $ ；
③当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y = -2|x| + 2 = $ 。
显然,②和③均为某个一次函数的一部分。
(2)在平面直角坐标系中,作出函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象。
(3)一次函数 $ y = kx + b $($ k $ 为常数,$ k \neq 0 $)的图象过点 $ (1, 3) $,若 $ \begin{cases} y = kx + b, \\ y = -2|x| + 2 \end{cases} $ 无解,结合函数的图象,求 $ k $ 的取值范围。

答案：

(1)②当x＞0时,y=-2|x|+2=-2x+2;③当x＜0时,y=-2|x|+2=2x+2.故答案为②-2x+2,③2x+2.
(2)函数y=-2|x|+2的图象如图
(1)所示:
(3)方程组{y=kx+b,y=-2|x|+2}无解,表示函数y=kx+b与函数y=-2|x|+2的图象没有交点. ①当k＞0时,一次函数图象呈上升状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如图
(2)中l₁所示,此时直线过点(1,3)和(0,2),易得k=1.所以k的取值范围为0＜k＜1. ②当k＜0时,一次函数图象呈下降状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如图
(2)中l₂所示,此时直线y=kx+b与直线y=-2|x|+2(x＞0)平行,易得k=-2.所以k的取值范围为-2≤k＜0. 综上所述,k的取值范围为-2≤k＜1且k≠0.