《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 如图,已知$∠ACB = 90^{\circ}$,$CD⊥AB$,垂足为 D. 则下列结论中一定正确的是(C)
A.$∠1 = ∠A$
B.$∠1 + ∠B = 90^{\circ}$
C.$∠2 = ∠A$
D.$∠A = ∠B$

答案： C 【解析】
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠1+∠A=90°,∠1+∠2=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠1=∠B,∠2=∠A,
∴A、B、D选项不一定正确，C选项正确.故选C.

如图,在$△ABC$中,$∠C = 60^{\circ}$,$∠B = 50^{\circ}$,D 是 BC 上一点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F,则$∠EDF$的度数为(C)
A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： C 【解析】
∵在△BED中,∠B=50°,DE⊥AB,
∴∠EDB=40°.
∵在△CDF中,∠C=60°,DF⊥AC,
∴∠FDC=30°,
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=110°.故选C.

3 [2024 广东深圳光明区期末] 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形,医学上常用 Cobb 角来评估脊柱侧弯的程度,当 Cobb 角$＞10^{\circ}$时为脊柱侧弯. 如图是脊柱侧弯 Cobb 角$(∠O)$的检测示意图,$DA⊥OC$于 A,$CB⊥OD$于 B,已知 Cobb 角为$37^{\circ}$,则$∠AEC$的大小是(A)
A.$37^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$53^{\circ}$
D.$63^{\circ}$

答案： A 【解析】
∵DA⊥OC于A,CB⊥OD于B,
∴△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO=90°,∠DEB+∠ADO=90°,
∴∠DEB=∠O=37°,
∴∠AEC=∠DEB=37°,故选A.

如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,点 D 在 AB 边上,将$△CBD$沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处. 若$∠A = 27^{\circ}$,则$∠CDE = $72$^{\circ}$.

答案： 72 【解析】
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ECD=45°,∠B=∠CED.
∵∠A=27°,
∴∠B=90°−27°=63°,
∴∠CED=∠B=63°,
∴∠CDE=180°−45°−63°=72°,故答案为72.

5 如图,小明在计算机上用“几何画板”画了一个$Rt△ABC$,其中$∠C = 90^{\circ}$,并画出了两锐角的平分线 AD,BE 及其交点 F. 小明发现,无论怎样变动$Rt△ABC$的形状和大小,$∠AFB$的度数都是定值,则这个定值为135°.

答案： 135° 【解析】
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,
∴∠FAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠FBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,
∴∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=45°,
∴∠AFB=180°−45°=135°.故答案为135°.

6 [2025 福建泉州丰泽区校级期中] 如图,线段$BA⊥AC$于点 A,BD 平分$∠ABC$,M 为线段 AC 延长线上一点,过 M 作$ME⊥BC$,垂足为 E,$∠AME$的平分线交 BA 延长线于点 F.
(1)证明：$∠ABC = ∠CME$.
(2)你能判断 BD,MF 的位置关系吗？请说明理由.

答案：

(1)【证明】
∵BA⊥AC,ME⊥BC,
∴∠BAC=∠MEC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,∠ECM+∠CME=90°.
∵∠ACB=∠ECM,
∴∠ABC=∠CME.
(2)【解】BD⊥FM.理由:延长BD交FM于点G,如图.
∵BD平分∠ABC,MF平分∠CME,
∴∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠CMF=$\frac{1}{2}$∠CME.
∵∠ABC=∠CME,
∴∠ABG=∠CMF.
∵BA⊥AC,
∴∠FAM=90°,
∴∠F+∠CMF=90°,
∴∠F+∠ABG=90°,
∴∠BGF=180°-(∠F+∠ABG)=90°,
∴BD⊥FM.

有下列条件：①$∠A + ∠B = ∠C$,②$∠A = 2∠B = 3∠C$,③$∠A:∠B:∠C = 1:2:3$,④$∠A = 90^{\circ} - ∠B$,⑤$∠A = ∠B = \frac{1}{2}∠C$中,其中能确定$△ABC$是直角三角形的条件有(C)
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： C 【解析】①
∵∠A+∠B=∠C,
∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,故①正确;②
∵∠A=2∠B=3∠C,
∴∠A+∠B+∠C=∠A+$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{3}$∠A=180°,
∴∠A=$\frac{1080°}{11}$,
∴△ABC不是直角三角形，故②不正确;③
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,
∴∠C=180°×$\frac{3}{1+2+3}$=90°,
∴△ABC是直角三角形，故③正确;④
∵∠A=90°-∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°-90°=90°,
∴△ABC是直角三角形，故④正确;⑤
∵∠A=∠B=$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠A+∠B+∠C=$\frac{1}{2}$∠C+$\frac{1}{2}$∠C+∠C=2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形，故⑤正确.综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件是①③④⑤,共4个.故选C.

8 [2025 安徽蚌埠蚌山区期中] 在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,点 D,E 分别在 AC,AB 上.
(1)如图(1),若$∠ADE = ∠B$,证明：$△ADE$是直角三角形；
(2)如图(2),连接 BD,若 BD 平分$∠ABC$,$∠A = 40^{\circ}$,求$∠ADB$的度数.

答案：
(1)【证明】
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ADE=∠B,
∴∠A+∠ADE=90°,
∴∠AED=90°,
∴△ADE是直角三角形.
(2)【解】
∵∠C=90°,∠A=40°,
∴∠ABC=180°−∠C−∠A=180°−90°−40°=50°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°.
∵∠ADB+∠CDB=180°,∠C+∠DBC+∠CDB=180°,
∴∠ADB=∠C+∠DBC=90°+25°=115°.