《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 [中]如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(0,3) $,$ B(2,1) $,经过点 $ A $ 的直线 $ l // x $ 轴,点 $ C $ 是直线 $ l $ 上的一个动点,当线段 $ BC $ 的长度最短时,点 $ C $ 的坐标为 (D)
A.$ (0,1) $
B.$ (2,0) $
C.$ (2,-1) $
D.$ (2,3) $

答案： D

2 [中]已知点 $ P(x,y) $ 在第二象限,且 $ y \leq 2x + 6 $,$ x,y $ 均为整数,则点 $ P $ 的个数是 (B)
A.3
B.6
C.10
D.无数个

答案： B

3 [中]若点 $ P $ 坐标可表示为 $ (m + 3,-m + 1) $,其中 $ m $ 为任意实数,则点 $ P $ 不可能在 (C)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： C

(1)填表:
|点 $ P $ 从 $ O $ 点出发时间|可得到整点的坐标|可得到整点的个数|
|1 s|$ (0,1),(1,0) $|2|
|2 s|(0,2),(2,0),(1,1)|3|
|3 s|(0,3),(3,0),(2,1),(1,2)|4|
(2)当点 $ P $ 从点 $ O $ 出发 10 s 时,可得到的整点的个数是______11.
(3)当点 $ P $ 从点 $ O $ 出发______15s 时,可得到整点 $ (10,5) $.

答案： 【解】
(1)填表如下:
点P从O点出发时间 可得到整点的坐标 可得到整点的个数
1 s (0,1),(1,0) 2
2 s (0,2),(2,0),(1,1) 3
3 s (0,3),(3,0),(2,1),(1,2) 4
(2)1s时,得到2个整点;2s时,得到3个整点;3s时,得到4个整点,…,那么10s时,可得到11个整点.故答案为11.
(3)整点(10,5)的横坐标为10,点P需要从点O出发沿x轴向右运动10s,纵坐标为5,点P需要再沿y轴向上运动5s,所以时间为15s.故答案为15.

(1)若 $ t = 3 $,则 $ d_1 + d_2 = $7;
(2)若 $ t ＜ 0 $,$ d_1 = d_2 $,求点 $ M $ 的坐标;
(4,-4)
(3)若点 $ M $ 在第二象限,且 $ md_1 - 5d_2 = 10 $($ m $ 为常数),求 $ m $ 的值.
$\frac{5}{2}$

答案： 【解】
(1)因为点M的坐标为(2 - t,2t),将点M到x轴的距离记作d1,到y轴的距离记作d2,所以d1 = |2t|,d2 = |2 - t|.因为t = 3,所以d1 = |2t| = |2×3| = 6,d2 = |2 - t| = |2 - 3| = 1,所以d1 + d2 = 6 + 1 = 7.故答案为7.
(2)因为t＜0,所以2 - t＞0,2t＜0,所以d1 = |2t| = -2t,d2 = |2 - t| = 2 - t.因为d1 = d2,所以-2t = 2 - t,所以t = -2,所以2 - t = 2 - (-2) = 4,2t = 2×(-2) = -4,所以点M的坐标为(4,-4).
(3)因为点M在第二象限,所以2 - t＜0,2t＞0,所以t＞2,d1 = |2t| = 2t,d2 = |2 - t| = t - 2.因为md1 - 5d2 = 10,所以m×2t - 5×(t - 2) = 10,解得m = 5/2.

6 思想方法 分类讨论与数形结合 [2024 安徽芜湖镜湖区校级期中,较难]如图,在长方形 $ OABC $ 中,$ OA = 10 $,$ OC = 6 $,以 $ O $ 为原点,$ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴,$ OC $ 所在直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系.动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ A \to O \to C \to B $ 路线运动到点 $ B $ 停止,速度为每秒 4 个单位长度;同时动点 $ Q $ 从点 $ O $ 出发,沿 $ O \to C \to B $ 路线运动到点 $ B $ 停止,速度为每秒 2 个单位长度.当点 $ P $ 到达点 $ B $ 时,两点同时停止运动.设运动时间为 $ t $ 秒.
(1)写出 $ A,B,C $ 三点的坐标;
(2)当点 $ P $ 恰好追上点 $ Q $ 时,求此时点 $ P $ 的坐标;
(3)当点 $ P $ 运动到线段 $ BC $ 上时,连接 $ AP,AQ $,若三角形 $ APQ $ 的面积是 3,求 $ t $ 的值.

答案： 【解】
(1)因为四边形OABC是长方形,OA = 10,OC = 6,以O为原点,OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,所以A(10,0),B(10,6),C(0,6).
(2)设x秒后点P恰好追上点Q,则4x - 2x = 10,解得x = 5,所以点P运动的路程为4x = 4×5 = 20.因为OA = 10,OC = 6,所以点P在BC上,所以CP = 20 - 10 - 6 = 4,所以点P的坐标为(4,6).
(3)①当点Q在点P的前面时,PQ = 2t - (4t - 10) = 10 - 2t.因为OC = 6,所以S三角形APQ = 1/2(10 - 2t)×6 = 3,解得t = 4.5.②当点P在点Q的前面时,PQ = 4t - 10 - 2t = 2t - 10.因为OC = 6,所以S三角形APQ = 1/2(2t - 10)×6 = 3,解得t = 5.5.综上所述,t的值为4.5或5.5.