《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 [2024 安徽合肥蜀山区期中,中]如图,直线$y = ax + b(a \neq 0)与x轴交点的横坐标为1$,则关于$x的方程ax = 2a - b$的解为 (D)

A.$x = -1$
B.$x = 1$
C.$x = 2$
D.$x = 3$

答案： D【解析】因为直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，所以0=a+b，所以b=-a，所以ax=2a-b=2a-(-a)，即ax=3a.因为a≠0，所以x=3，故选D.

2 [2025 四川绵阳质检,中]如图,函数$y = mx和y = kx + b的图象相交于点P(1,m)$,则不等式$-b \leq kx - b \leq mx$的解集为 ( )


A.$0 \leq x \leq 1$
B.$-1 \leq x \leq 0$
C.$-1 \leq x \leq 1$
D.$-m \leq x \leq m$

答案：
B【解析】因为y=kx+b的图象经过点P(1,m)，所以k+b=m.当x=-1时，kx-b=-k-b=-(k+b)=-m，即(-1,-m)在函数y=kx-b的图象上.又因为(-1,-m)在$y=mx$的图象上，所以y=kx-b与$y=mx$的图象相交于点(-1,-m)，函数图象如图，则不等式$-b≤kx-b≤mx$的解集为-1≤x≤0.故选B.

在平面直角坐标系中,垂直于$x轴的直线l分别与函数y = x - a + 1和y = -\frac{1}{2}x + a的图象相交于P,Q$两点.若平移直线$l$,可以使$P,Q都在x$轴的下方,则实数$a$的取值范围是a＜-1.

答案： a＜-1【解析】因为平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，所以令$y=x-a+1＜0$，得x＜-1+a；令$y=-\frac{1}{2}x+a＜0$，得x＞2a.当-1+a＞2a，即a＜-1时，x＜-1+a与x＞2a有解；当-1+a≤2a，即a≥-1时，x＜-1+a与x＞2a无解.综上所述，a＜-1.故答案为a＜-1.

(1)若两个一次函数的图象都经过$y$轴上的同一个点,则$a + 2k = $5;
(2)若对于任意实数$x,y_1 ＞ y_2$都成立,则$k$的取值范围是$k＜\frac{5}{3}$且$k≠0$.

答案：
(1)5
(2)$k＜\frac{5}{3}$且k≠0.【解析】
(1)因为两个一次函数的图象都经过y轴上的同一个点，所以-a+1=2k-4，所以a+2k=5.故答案为5.
(2)对于任意实数x，$y_1＞y_2$都成立，所以$y_1$与$y_2$图象平行，且$y_1$的图象在$y_2$的图象上面，所以a=k，所以$y_1=kx-k+1$，所以2k-4＜-k+1，解得$k＜\frac{5}{3}$，所以k的取值范围是$k＜\frac{5}{3}$且k≠0.故答案为$k＜\frac{5}{3}$且k≠0.

(1)$\min\{-3,2\}=$-3,当$x \leq 2$时,$\min\{x,2\}=$x;
(2)若$\min\{3x - 1,-x + 3\} = 3x - 1$,求$x$的取值范围;
由题意得3x-1≤-x+3，4x≤4，所以x≤1.
(3)如图,已知直线$y_1 = x + m与y_2 = kx - 2相交于点P(-2,1)$,若$\min\{x + m,kx - 2\} = kx - 2$,结合图象,直接写出$x$的取值范围是x≥-2.

答案：
(1)-3；x
(2)由题意得3x-1≤-x+3，4x≤4，所以x≤1.
(3)x≥-2【解析】
(1)min{-3,2}=-3.当x≤2时，min{x,2}=x.故答案为-3,x.
(2)由题意得3x-1≤-x+3，4x≤4，所以x≤1.
(3)因为min{x+m,kx-2}=kx-2，所以$y_1≥y_2$，由图象得x≥-2.故答案为x≥-2.

6 思想方法 数形结合 [难]已知一次函数$y_1 = ax + b的图象分别交x轴和y轴于点B和D$;一次函数$y_2 = bx + a的图象分别交x轴和y轴于点C和E$,且两个函数的图象交于点$A(1,4)$.
(1)当$a,b$为何值时,$y_1和y_2$的图象重合?
(2)当$0 ＜ a ＜ 4$,且$x ＜ 1$时,$y_1 ＞ y_2$恒成立,求$b$的取值范围.
(3)当$DE = 2$时,求三角形$ABC$的面积.

答案：

(1)因为$y_1=ax+b$的图象过点A(1,4)，所以a+b=4，所以b=4-a，所以$y_1=ax+(4-a)$，$y_2=(4-a)x+a$.因为$y_1$和$y_2$的图象重合，所以a=4-a，所以a=2，b=2，即当a=2，b=2时，$y_1$和$y_2$的图象重合.
(2)因为a+b=4，所以a=4-b，所以$y_1=(4-b)x+b$，$y_2=bx+(4-b)$.因为0＜a＜4，所以0＜4-b＜4，所以0＜b＜4.如图，因为x＜1时，$y_1＞y_2$恒成立，所以由图象得4-b＜b，所以b＞2.综上，2＜b＜4.

(3)根据题意，得点D(0,b)，点E(0,a)，所以DE=|b-a|.将点A(1,4)代入直线$y_1=ax+b$，得a+b=4，所以b=4-a，所以DE=|4-2a|.因为DE=2，所以|4-2a|=2，所以a=1或a=3，所以b=3或b=1，所以两直线的表达式分别为$y_1=x+3$，$y_2=3x+1$或$y_1=3x+1$，$y_2=x+3$.当$y_1=x+3=0$时，x=-3，所以点B(-3,0).当$y_2=3x+1=0$时，$x=-\frac{1}{3}$，所以点$C(-\frac{1}{3},0)$，所以$BC=\frac{8}{3}$.当$y_1=3x+1$，$y_2=x+3$时，同理可得$BC=\frac{8}{3}$，所以三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×4=\frac{16}{3}$.