《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

在$\triangle ABC$中,$AD为BC$边上的中线,若$\triangle ABD与\triangle ADC$的周长差为5,$AC = 8$,则$AB$的长为 (C)
A.2
B.13
C.3或13
D.2或12

答案： C 【解析】①当△ABD 的周长大于△ADC 的周长时，因为 AD 为 BC 边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD 与△ADC 的周长差为(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.因为△ABD 与△ADC 的周长差为 5，AC=8，所以AB-8=5，解得AB=13.②当△ADC 的周长大于△ABD 的周长时，因为 AD 为 BC 边上的中线，所以BD=CD，所以△ADC 与△ABD 的周长差为(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB.因为△ABD 与△ADC 的周长差为 5，AC=8，所以8-AB=5，解得AB=3.综上，AB=3 或13，故选 C.

在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,若中线$BD$将该三角形的周长分为5和3两个部分,则该等腰三角形的底边长为 (A)
A.$\frac{4}{3}$
B.4
C.$\frac{4}{3}$或4
D.$\frac{5}{3}$或4

答案： A 【解析】设腰长AB=AC=x，底边长BC=y.因为 BD 是中线，所以AD=CD= $\frac{1}{2}$AC= $\frac{1}{2}$x.因为中线 BD 将该三角形的周长分为 5 和 3两个部分，所以$\begin{cases} AB+AD=5, \\ BC+CD=3 \end{cases}$或$\begin{cases} AB+AD=3, \\ BC+CD=5 \end{cases}$，所以$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=5, \\ y+\frac{1}{2}x=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=3, \\ y+\frac{1}{2}x=5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=\frac{10}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$.当等腰三角形 ABC 腰长为$\frac{10}{3}$，底边长为$\frac{4}{3}$时，$\frac{10}{3}+\frac{4}{3}＞\frac{10}{3}$，可以组成三角形；当等腰三角形 ABC 腰长为 2，底边长为 4 时，2+2=4，不可以组成三角形，所以该等腰三角形的底边长为$\frac{4}{3}$，故选 A.

3 [2025山东东营期中,中]如图,$D,E,F分别是BC,AD,AC$的中点,若阴影部分的面积为6,则$\triangle ABC$的面积是 (D)

A.12
B.14
C.15
D.16

答案： D 【解析】因为 D，E，F 分别是 BC，AD，AC 的中点，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$，$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADF}$，所以$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}$，所以$S_{\triangle BDE}+S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{8}S_{\triangle ABC}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{8}{3}S_{阴影部分}=\frac{8}{3}×6=16$，故选 D.

4 [2025辽宁鞍山质检,中]如图,已知$\triangle ABC$的面积为1,分别倍长(延长一倍)边$AB,BC,CA得到\triangle A_1B_1C_1$,再分别倍长边$A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1得到\triangle A_2B_2C_2$,…,按此规律,倍长2024次后得到的$\triangle A_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为 ( )


A.$7^{2024}$
B.$5^{2024}$
C.$6^{2023}$
D.$4^{2023}$

答案：
A 【解析】如图，连接AB₁，BC₁，CA₁，根据等底同高的三角形面积相等，可得△A₁BC，△A₁B₁C，△AB₁C，△AB₁C₁，△ABC₁，△A₁BC₁，△ABC的面积都相等，所以$S_{\triangle A_1B_1C_1}=7S_{\triangle ABC}$；同理可得$S_{\triangle A_2B_2C_2}=7S_{\triangle A_1B_1C_1}=7^2S_{\triangle ABC}$；…，以此类推，$S_{\triangle A_{2024}B_{2024}C_{2024}}=7^{2024}S_{\triangle ABC}$.因为$S_{\triangle ABC}=1$，所以△A₂₀₂₄B₂₀₂₄C₂₀₂₄ 的面积为$7^{2024}$.故选 A.

5 [2025江西景德镇质检,中]如图,$\triangle ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G$.已知$AG:GD = 2:1,S_{\triangle ABC} = 12$,则图中阴影部分的面积为______4.

答案： 4 【解析】因为 AD 是△ABC 的中线，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×12=6$.因为 AG:GD=2:1，所以$S_{\triangle ABG}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}×6=4$，$S_{\triangle AGC}=\frac{2}{3}S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}×6=4$.又因为 BE，CF 是△ABC 的中线，所以点 E，F 分别是 AC,AB 的中点，所以$S_{\triangle GFB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}×4=2$，$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}×4=2$，所以$S_{阴影}=S_{\triangle GFB}+S_{\triangle GCE}=2+2=4$.故答案为4.

(1)如图(1),$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD是AB$边上的高,则$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC\cdot BC = $$\frac{1}{2}AB\cdot CD$.
(2)在(1)的条件下,若$AC = 3$,$BC = 4$,$AB = 5$,用等积法求$CD$的长.
【解】由(1)可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$.
(3)如图(2),在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC = 13$,$BC = 10$,过$A作AH\perp BC于点H$,且$AH = 12$,$P为底边BC$上的任意一点,过点$P作PM\perp AB$,$PN\perp AC$,垂足分别为$M,N$,连接$AP$,利用$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP}$,求$PM + PN$的值.
【解】因为$AH\perp BC$，$PM\perp AB$，$PN\perp AC$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot PM+\frac{1}{2}AC\cdot PN$，所以$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13PM+\frac{1}{2}×13PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$，所以$PM+PN=\frac{120}{13}$.

答案： 【解】
(1)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$.故答案为$\frac{1}{2}AB\cdot CD$.
(2)由
(1)可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$.
(3)因为$AH\perp BC$，$PM\perp AB$，$PN\perp AC$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot PM+\frac{1}{2}AC\cdot PN$，所以$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13PM+\frac{1}{2}×13PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$，所以$PM+PN=\frac{120}{13}$.

7 [2025吉林松原质检,中]已知$\triangle ABC$的面积为24,$AD是BC$边上的高(点$D不与点B$重合),若$AD = 4$,$CD = 5$,则$BD$的长为 ( )

A.1
B.1或11
C.7
D.7或17

答案：
D【解析】当AD在△ABC内部时，如图
(1).因为△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD=4，CD=5，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}(BD+CD)\cdot AD=\frac{1}{2}(BD+5)×4=24$，所以BD=7. 当AD在△ABC外部时，如图
(2).因为△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD=4，CD=5，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}BC×4=24$，所以BC=12，所以BD=BC+CD=12+5=17. 综上所述，BD的长为7或17，故选D.