《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

14 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B 两点的坐标分别为 A(m,0),B(0,n),且|m - n - 3| + √(2n - 6) = 0,点 P 从 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动,设点 P 运动时间为 t 秒.
(1)求 OA,OB 的长;
(2)连接 PB,若△POB 的面积不大于 3 且大于 0,求 t 的取值范围;
(3)过 P 作直线 AB 的垂线,垂足为 D,直线 PD 与 y 轴交于点 E,在点 P 运动的过程中,是否存在这样的点 P,使△EOP ≌ △AOB? 若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

答案： 【解】
(1)
∵|m - n - 3|+$\sqrt{2n - 6}$ = 0,
∴m - n - 3 = 0,2n - 6 = 0,解得m = 6,n = 3,
∴OA = 6,OB = 3.
(2)分为两种情况:①当P在线段OA上时,如图
(1),此时AP = t,PO = 6 - t,
∴S△BOP = $\frac{1}{2}$×(6 - t)×3 = 9 - $\frac{3}{2}$t.
∵△POB的面积不大于3且大于0,
∴0 ＜ 9 - $\frac{3}{2}$t ≤ 3,解得4 ≤ t ＜ 6. ②当P在线段AO的延长线上时,如图
(2),AP = t,PO = t - 6,
∴S△BOP = $\frac{1}{2}$×(t - 6)×3 = $\frac{3}{2}$t - 9.
∵△POB的面积不大于3且大于0,
∴0 ＜ $\frac{3}{2}$t -9 ≤ 3,解得6 ＜ t ≤ 8. 综上,t的取值范围是4 ≤ t ≤ 8且t≠6.
(3)存在. 当OP = OB = 3时,易证△EOP≌△AOB.分为两种情况:如图
(3),当点P在线段OA上时,PA = OA - OP = 3,
∴t = 3.如图
(4),当P在线段AO的延长线上时,AP = OA + OP = 6 + 3 = 9,
∴t = 9.
∴存在这样的点P,使△EOP≌△AOB,t的值是3或9.

(1)根据 ,可以得到 Rt△ABC ≌ Rt△DEF.HL
(2)【证明】过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,如图(1).∵∠ABC = ∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角,∴∠CBG = 180°-∠ABC,∠FEH = 180°-∠DEF,∴∠CBG = ∠FEH.在△CBG和△FEH中,∠CBG = ∠FEH,∠G = ∠H = 90°,BC = EF,∴△CBG≌△FEH(AAS),∴CG = FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,AC = DF,CG = FH,∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),∴∠A = ∠D.在△ABC和△DEF中,∠A = ∠D,∠ABC = ∠DEF,AC = DF,∴△ABC≌△DEF(AAS).
(3)【解】如图(2),△DEF即为所求.此时,△ABC和△DEF不全等.
(4)当 时,△ABC ≌ △DEF.∠B≥∠A或∠B+∠ACB = 90°,∠DEF+∠DFE = 90°

答案：
(1)【解】
∵∠B = ∠E = 90°,
∴△ABC和△DEF是直角三角形.在Rt△ABC和Rt△DEF中,AC = DF,BC = EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 故答案为HL.
(2)【证明】过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,如图
(1).
∵∠ABC = ∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角,
∴∠CBG = 180°-∠ABC,∠FEH = 180°-∠DEF,
∴∠CBG = ∠FEH.在△CBG和△FEH中,∠CBG = ∠FEH,∠G = ∠H = 90°,BC = EF,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴CG = FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,AC = DF,CG = FH,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A = ∠D.在△ABC和△DEF中,∠A = ∠D,∠ABC = ∠DEF,AC = DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(3)【解】如图
(2),△DEF即为所求.此时,△ABC和△DEF不全等.
(4)【解】由图
(2)可知,∠A = ∠CDA = ∠B+∠BCD,
∴∠A＞∠B,
∴当∠B≥∠A时,△ABC就唯一确定了,则△ABC≌△DEF;当∠B+∠ACB = 90°,∠DEF+∠DFE = 90°,即∠A = ∠D = 90°时,在Rt△ABC和Rt△DEF中,AC = DF,BC = EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).故答案为∠B≥∠A或∠B+∠ACB = 90°,∠DEF+∠DFE = 90°.