《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 [2025 安徽合肥期末,中]如图,在$\triangle ABC和\triangle BDE$中,$AC = BC = BE = DE$,$\angle C与\angle E$互补,$BD = 2AB = 8$,则$\triangle ABC$的面积为( )

A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$12$

答案：
A　[解析]如图，
过点C作CG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
则∠CGB = ∠BHE = 90°，
∴∠BCG + ∠CBG = °0°。
∵BD = 2AB = 8，
∴AB = 4。
∵AC = BC = BE = DE，CG⊥AB，EH⊥BD，∠ACB与∠BED互补，
∴∠BCG = $\frac{1}{2}∠ACB$，∠BEH = $\frac{1}{2}∠BED$，BH = $\frac{1}{2}BD = 4$，
∠ACB + ∠BED = l80°，
∴∠BCG + ∠BEH = $\frac{1}{2}×180^{\circ}= 90^{\circ}$，
∴∠CBG = ∠BEH。
在△CBG和△BEH中，$\begin{cases} ∠CGB = ∠BHE\\ ∠CBG = ∠BEH\\ BC = EB \end{cases}$
∴△CBG≌△BEH(AAs)，
∴CG = BH = 4，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB\cdot CG = \frac{1}{2}×4×4 = 8$，故选A。

2 [2025 安徽亳州期末,较难]如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,点$D是直线AB$上一点,以$CD为边向上作等边三角形CDE$,连接$AE$,则下列结论中错误的是( )D
A.当$AD = AE$时,$AC是DE$的垂直平分线
B.当$CD \perp AB$时,$\triangle CDE$的面积最小
C.$AE // BC$
D.$AC = AD + AE$

答案： D　[解析]
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴CD = CE，BC = AC。
当AD = AE时，AC是DE的垂直平分线，故A选项不符合题意。
当CD最小时，△CDE的面积最小，
∴当CD⊥AB时，△CDE的面积最小，故B选项不符合题意。
∵∠BCA = ∠DCE = 60°，
∴∠BCA - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD = ∠ACE。
在△BDC与△AEC中，$\begin{cases} BC = AC\\ ∠BCD = ∠ACE\\ DC = EC \end{cases}$
∴△BDC≌△AEC(SAS)，
∴∠B = ∠CAE，
∴∠B = ∠CAE = ∠BAC = 60°，
∴∠CAE + ∠BAC = ∠BAE = 120°，
∴∠B + ∠BAE = 180°，
∴AE//BC，故C选项不符合题意。
当点D在线段AB上时，
∵△BDC≌△AEC，
∴AE = BD，
∴AB = AC = AD + AE。
当点D在线段AB的延长线上时，易得AD = AC + AE，故D选项符合题意，故选D。
关键点拨：
(2)若OM边上不存在点$B_{3}$，使得$A_{3}B_{3}=B_{2}A_{3}$，则$∠A_{3}B_{2}M$的度数最小为90°。
思路分析：由题意可得CD = CE，若AD = AE，则AC是DE的垂直平分线，故A选项不符合题意；由等边三角形的面积公式可得当CD⊥AB时，△CDE的面积最小，故B选项不符合题意；证明△BDC≌△AEC，可得∠B = ∠CAE = 60°，进而可证AE//BC，故C选项不符合题意；当点D在线段AB的延长线上时，AD = AC + AE，故D选项符合题意。

(1)当$\angle MB_1A_2 = 45^{\circ}$时,$\angle MON = $15°；
(2)若$OM边上不存在点B_3$,使得$A_3B_3 = B_2A_3$,则$\angle MON$的度数最小是18°。

答案：
(1)15°
(2)18°　[解析]
(1)
∵$OA_{1}=A_{1}B_{1}=B_{1}A_{2}$，
∴∠MON = ∠$A_{1}B_{1}O$，∠$B_{1}A_{1}A_{2}$=∠$B_{1}A_{2}A_{1}$。
∵∠$B_{1}A_{1}A_{2}$=∠MON + ∠$A_{1}B_{1}O$，∠$MB_{1}A_{2}$=∠MON + ∠$B_{1}A_{2}A_{1}$，
∴∠$B_{1}A_{1}A_{2}$=2∠MON，∠$MB_{1}A_{2}$=3∠MON = 45°，
∴∠MON = 15°，故答案为15°。
(2)
∵$B_{1}A_{2}=A_{2}B_{2}=B_{2}A_{3}$，
∴∠$A_{2}B_{1}M$=∠$A_{2}B_{2}B_{1}$=3∠MON，∠$B_{2}A_{2}A_{3}$=∠$B_{2}A_{3}A_{2}$。
∵∠$B_{2}A_{2}A_{3}$=∠MON + ∠$A_{2}B_{2}B_{1}$=4∠MON，
∴∠$MB_{2}A_{3}$=∠MON + ∠$B_{2}A_{3}A_{2}$=5∠MON。
∵OM边上不存在点$B_{3}$，使得$A_{3}B_{3}=B_{2}A_{3}$，
∴∠$MB_{2}A_{3}$的度数最小是90°，
∴5∠MON = 90°，
∴∠MON的度数最小是18°。故答案为18°。

4 [较难]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在BC$上,且$BD = BA$,点$E在BC$的延长线上,且$CE = CA$。
(1)如图(1),若$\angle BAC = 90^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)如图(2),若$\angle BAC = 120^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(3)当$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$时,写出$\angle DAE与\angle BAC$之间的数量关系,并说明理由。

答案： 【解】
(1)
∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴∠B = ∠ACB = 45°。
∵BD = BA，
∴∠BAD = ∠BDA = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠B)= 67.5^{\circ}$。
∵CE = CA，
∴∠CAE = ∠E = $\frac{1}{2}∠ACB = 22.5^{\circ}$，
∴∠BAE = 180° - ∠B - ∠E = 112.5°，
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 45°。
(2)
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B = ∠ACB = 30°。
∵BA = BD，
∴∠BAD = ∠BDA = 75°，
∴∠DAC = 45°。
∵CA = CE，
∴∠E = ∠CAE = 15°，
∴∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 60°。
(3)∠DAE = $\frac{1}{2}∠BAC$。
理由：设∠CAE = x，∠BAD = y，则∠B = 180° - 2y，∠E = ∠CAE = x，
∴∠BAE = 180° - ∠B - ∠E = 2y - x，
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 2y - x - y = y - x，
∠BAC = ∠BAE - ∠CAE = 2y - x - x = 2y - 2x，
∴∠DAE = $\frac{1}{2}∠BAC$。

5 核心素养 推理能力 [2025 安徽亳州期末,难]如图(1),在等边$\triangle ABC$中,点$P$,$Q分别是边AB$,$BC$上的动点(端点除外),点$P$,$Q分别从顶点A$,$B$同时出发,以相同的速度向点$B$,$C$匀速运动,连接$AQ$,$CP交于点M$。
(1)求证：$AQ = CP$。
(2)在点$P$,$Q$运动过程中,$\angle QMC$的大小变化吗？若变化,请说明理由；若不变,请直接写出它的度数。
(3)如图(2),若点$P$,$Q在运动到终点后继续在射线AB$,$BC$上运动,直线$AQ$,$CP交点为M$,$\angle QMC$的大小变化吗？若变化,请说明理由；若不变,求出它的度数。

答案：
(1)【证明】
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = ∠ABC = 60°。
∵点P，Q分别从顶点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C匀速运动，
∴AP = BQ。
在△ABQ和△CAP中，$\begin{cases} AB = CA\\ ∠ABQ = ∠CAP\\ BQ = AP \end{cases}$
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴AQ = CP。
(2)【解】∠QMC的大小不变，为60°。
由
(1)可知△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ = ∠ACP。
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC = ∠MAC + ∠ACM = ∠MAC + ∠BAQ = ∠BAC = 60°。
(3)【解】∠QMC的大小不变。
由题意得BP = CQ，
∴AP = BQ。
在△ABQ和△CAP中，$\begin{cases} AB = AC\\ ∠ABQ = ∠CAP\\ BQ = AP \end{cases}$
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ = ∠ACP。
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC = ∠PAM + ∠APC = ∠ACP + ∠APC = 180° - 60° = 120°。