《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 新考法 [2025 河南郑州期中,中]我们知道,通过列表、描点、连线可以画出一个函数的图象.在画完正比例函数 $ y = 2 x $ 的图象后,何老师给同学们提出一个问题:“不通过画图,你能解释为什么正比例函数 $ y = 2 x $ 的图象经过第一、三象限吗?”聪明的小亮经过思考后,给出了这样的解答:“当 $ x ＞ 0 $ 时, $ y = 2 x ＞ 0 $,此时描出的点都在第一象限;当 $ x ＜ 0 $ 时, $ y = 2 x ＜ 0 $,此时描出的点都在第三象限,所以函数 $ y = 2 x $ 的图象一定经过第一、三象限.”大家不禁为善于思考的小亮鼓掌.最后何老师又给大家留了一道思考题:下面四个图象中,是函数 $ y = \sqrt { x } $ 的图象的是 (C)

答案： 1.C　[解析]由题意可知$x\geq0$，$\sqrt{x}\geq0$，所以$x\geq0$，$y\geq0$，观察图象可知，只有选项C符合题意。故选C。

2 [中]已知直线 $ y = 2 x $ 与 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x $ 如图所示,点 $ A _ { 1 } ( 1 , 2 ) $ 在直线 $ y = 2 x $ 上,过点 $ A _ { 1 } $ 作 $ A _ { 1 } A _ { 2 } $ 平行于 x 轴交直线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x $ 于点 $ A _ { 2 } $,过点 $ A _ { 2 } $ 作 $ A _ { 2 } A _ { 3 } $ 平行于 y 轴交直线 $ y = 2 x $ 于点 $ A _ { 3 } $,过点 $ A _ { 3 } $ 作 $ A _ { 3 } A _ { 4 } $ 平行于 x 轴交直线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x $ 于点 $ A _ { 4 } $,…,以此类推,线段 $ A _ { 2 0 2 1 } A _ { 2 0 2 2 } $ 的长为 ( )

A.$ 5 × 2 ^ { 2 0 2 1 } $
B.$ 3 × 2 ^ { 2 0 2 2 } $
C.$ 3 × 2 ^ { 2 0 2 0 } $
D.$ 5 × 2 ^ { 2 0 2 0 } $

答案：
2.D　[解析]

如图,在平面直角坐标系中,点 $ A ( 3 , m ) $ 在正比例函数 $ y = \frac { 7 } { 3 } x $ 的图象上,点 $ B ( 1 , 0 ) $ 和点 C 都在 x 轴上.当 $ △ A B C $ 的面积是 17.5 时,点 C 的坐标是( - 4,0)或(6,0).

答案： 3.( - 4,0)或(6,0)　[解析]因为$A(3,m)$在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上，所以$m=\frac{7}{3}×3 = 7$，所以$A(3,7)$。设点C的坐标为$(a,0)$。因为$B(1,0)$，所以$BC = |a - 1|$，所以$\frac{1}{2}×7×|a - 1| = 17.5$，所以$a = - 4$或$a = 6$，所以点C的坐标是$( - 4,0)$或$(6,0)$。故答案为$( - 4,0)$或$(6,0)$。

4 [2025 安徽六安期中,中]如图,若正比例函数 $ y = k x $ 的图象与直线 $ x = - 1 $, $ x = 2 $, $ y = 2 $, $ y = 4 $ 相交围成的长方形 ABCD 有公共点,则 k 的取值范围是$k\geq1$或$k\leq - 2$.

答案： 4.$k\geq1$或$k\leq - 2$　[解析]当正比例函数图象经过$C(2,2)$时，$2 = 2k$，解得$k = 1$。当正比例函数图象经过$B( - 1,2)$时，$2 = - k$，解得$k = - 2$，所以当正比例函数$y = kx$的图象与长方形ABCD有公共点时，$k\geq1$或$k\leq - 2$。故答案为$k\geq1$或$k\leq - 2$。

5 [中](1)在同一直角坐标系内画出正比例函数 $ y = - 2 x $ 与 $ y = \frac { 1 } { 2 } x $ 的图象;
(2)请你用量角器度量一下这两条直线所成的角,你会发现什么? 写出你的猜想.

答案： 【解析】：
本题主要考查正比例函数的图象绘制以及正比例函数图象的性质。
(1) 对于函数 $y = -2x$，当 $x = 1$ 时，$y = -2$；当 $x = -1$ 时，$y = 2$。
对于函数 $y = \frac{1}{2}x$，当 $x = 2$ 时，$y = 1$；当 $x = -2$ 时，$y = -1$。
利用这些点，我们可以在直角坐标系中分别画出这两个函数的图象。
(2) 通过观察或度量，我们可以发现这两条直线所成的角为 $90^\circ$，即它们是垂直的。
由此，我们可以猜想：当两个正比例函数的系数 $k_1$ 和 $k_2$ 满足 $k_1 × k_2 = -1$ 时，这两条直线是垂直的。
【答案】：
(1) 图略（根据解析中的点，在直角坐标系中分别画出 $y = -2x$ 和 $y = \frac{1}{2}x$ 的图象）。
(2) 这两条直线所成的角为 $90^\circ$，猜想：当两个正比例函数的系数 $k_1$ 和 $k_2$ 满足 $k_1 × k_2 = -1$ 时，这两条直线垂直。

(1)若此正方形边长为 2,则 $ k = $$\frac{2}{3}$;
(2)若此正方形边长为 a,k 的值是否会发生变化? 若不发生变化,请说明理由;若发生变化,求出 k 的值.
k的值不会发生变化，理由：
因为正方形ABCD的边长为a，所以$AB = a$。在$y = 2x$中，当$y = a$时，$x=\frac{a}{2}$，则$B(\frac{a}{2},a)$，所以$OA=\frac{a}{2}$，$OD=\frac{3}{2}a$，所以$C(\frac{3}{2}a,a)$。将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y = kx$，得$a = k×\frac{3}{2}a$，所以$k=\frac{2}{3}$，即k的值不发生变化。

答案： 6.[解]
(1)因为正方形ABCD的边长为2，所以$AB = 2$。在$y = 2x$中，当$y = 2$时，$x = 1$，则$B(1,2)$，所以$OA = 1$，$OD = 1 + 2 = 3$，所以$C(3,2)$。将$C(3,2)$代入$y = kx$，得$2 = 3k$，所以$k=\frac{2}{3}$。故答案为$\frac{2}{3}$。
(2)k的值不会发生变化，理由：
因为正方形ABCD的边长为a，所以$AB = a$。在$y = 2x$中，当$y = a$时，$x=\frac{a}{2}$，则$B(\frac{a}{2},a)$，所以$OA=\frac{a}{2}$，$OD=\frac{3}{2}a$，所以$C(\frac{3}{2}a,a)$。将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y = kx$，得$a = k×\frac{3}{2}a$，所以$k=\frac{2}{3}$，即k的值不发生变化。