《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

12 如图,直线 $ l_1: y_1 = ax + b $ 经过 $ (-3, 0) $,$ (0, 1) $ 两点,直线 $ l_2: y_2 = kx - 2 $.

(1) 若 $ l_1 // l_2 $,则 $ k $ 的值为______；
(2) 当 $ x ＜ 1 $ 时,总有 $ y_1 ＞ y_2 $,则 $ k $ 的取值范围是______.

答案：

(1)1/3
(2)1/3≤k≤10/3 【解析】
(1)将(-3，0)，(0，1)代入y₁ = ax + b得{0 = -3a + b，1 = b}，解得{a = 1/3，b = 1}，所以y₁ = 1/3x + 1。因为l₁//l₂，所以k = 1/3，故答案为1/3。
(2)将x = l代入y₁ = 1/3x + 1得y = 4/3，所以直线l₁经过点(1，4/3)。将(1，4/3)代入y₂ = kx - 2得4/3 = k - 2，解得k = 10/3。如图，因为直线l₂经过定点(0，-2)，当x＜1时，总有y₁＞y₂，所以1/3≤k≤10/3。故答案为1/3≤k≤10/3。

13 [2025 安徽合肥包河区期中]定义：对于一次函数 $ y_1 = ax + b $,$ y_2 = cx + d $,我们称函数 $ y = m(ax + b) - n(cx + d) $($ ma \neq nc $)为函数 $ y_1 $,$ y_2 $ 的“星辰函数”.
(1) 已知函数 $ y = -x + 3 $ 为函数 $ y_1 = x + 1 $,$ y_2 = 3x - 1 $ 的“星辰函数”,求 $ m $,$ n $ 的值.
(2) 在平面直角坐标系中,函数 $ y_1 = x + 2 $ 与 $ y_2 = -x + 2t $ 的图象相交于点 $ P $,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线 $ l $,交函数 $ y_1 $,$ y_2 $ 的“星辰函数”的图象于点 $ Q $.
① 若 $ t \neq -1 $,函数 $ y_1 $,$ y_2 $ 的“星辰函数”图象经过点 $ P $,求 $ m - n $ 的值；
② 若 $ m ＞ n + 1 $,点 $ P $ 在点 $ Q $ 的上方,求 $ t $ 的取值范围.

答案：
(1)由题意可知，m(x + 1) - n(3x - 1) = -x + 3，整理得(m - 3n)x + m + n = -x + 3，所以{m - 3n = -1，m + n = 3}，解得{m = z，n = 1}，故m = 2，n = 1。
(2)解方程组{y = x + 2，y = -x + 2t}，解得{x = t - 1，y = t + 1}，所以P点坐标为(t - 1，t + 1)。函数y₁，y₂的“星辰函数”为y = m(x + 2) - n(-x + 2t)，化简得y = (m + n)x + 2m - 2nt。①将点P坐标代入“星辰函数”得t + 1 = (m + n)(t - 1) + 2m - 2nt，整理得t + 1 = (m - n)(t + 1)。因为t≠-1，所以m - n = 1。②在y = (m + n)x + 2m - 2nt中，当x = t - 1时，y = (m + n)(t - 1) + 2m - 2nt，t + 1＞(m + n)(t - 1) + 2m - 2nt，整理得t + 1＞(m - n)(t + 1)。因为m＞n + 1，所以m - n＞1，所以t + 1＜0，即t＜-1，所以t的取值范围是t＜-1。

(1) 若施甲种化肥每亩利润为 $ y_1 $ (元),施乙种化肥每亩利润为 $ y_2 $ (元),求出 $ y_1 $,$ y_2 $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
根据题意得$y_1 = (300 + 150)x - 5.2×40 = 450x - 208$，$y_2 = (300 + 120)x - 40×2.5 = 420x - 100$，所以$y_1$与$x$之间的函数表达式为$y_1 = 450x - 208$，$y_2$与$x$之间的函数表达式为$y_2 = 420x - 100$。
(2) 选用哪种化肥合算？
①当$y_1＞y_2$时，即$450x - 208＞420x - 100$，解得$x＞3.6$；②当$y_1 = y_2$时，即$450x - 208 = 420x - 100$，解得$x = 3.6$；③当$y_1＜y_2$时，即$450x - 208＜420x - 100$，解得$x＜3.6$。综上所述，当$3≤x＜3.6$时，选择乙化肥更合算；当$x = 3.6$时，选择甲、乙化肥一样合算；当$3.6＜x≤4$时，选择甲化肥更合算。
(3) 为提高产品竞争力,甲化肥厂商决定每千克化肥让利 $ a $ 元,要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥,则 $ a $ 的最小值为______.
0.45

答案：
(1)根据题意得y₁ = (300 + 150)x - 5.2×40 = 450x - 208，y₂ = (300 + 120)x - 40×2.5 = 420x - 100，所以y₁与x之间的函数表达式为y₁ = 450x - 208，y₂与x之间的函数表达式为y₂ = 420x - 100。
(2)①当y₁＞y₂时，即450x - 208＞420x - 100，解得x＞3.6；②当y₁ = y₂时，即450x - z08 = 420x - 100，解得x = 3.6；③当y₁＜y₂时，即450x - 208＜420x - 100，解得x＜3.6。综上所述，当3≤x＜3.6时，选择乙化肥更合算；当x = 3.6时，选择甲、乙化肥一样合算；当3.6＜x≤4时，选择甲化肥更合算。
(3)0.45

15 已知函数 $ y = \begin{cases} 2x + 2m & (x \geq m) \\ -x + 2m & (x ＜ m) \end{cases} $,其中 $ m $ 为常数,该函数图象记为 $ G $.
(1) 当 $ m = 1 $ 时.
① 若点 $ A(a, 4) $ 在图象 $ G $ 上,求 $ a $ 的值.
② 当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时,写出函数值 $ y $ 的取值范围.
(2) 点 $ B $ 在图象 $ G $ 上,点 $ B $ 的横坐标为 $ 2m $.
① 用含 $ m $ 的代数式表示点 $ B $ 的坐标.
② 当 $ m ＞ 0 $ 时,直线 $ y = 4m $ 与图象 $ G $ 交于点 $ C $,$ D $,点 $ D $ 在点 $ C $ 左侧. 当三角形 $ BCD $ 的面积为 $ 12 $ 时,求点 $ B $ 的坐标.
③ 过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的垂线,与直线 $ y = x + \frac{3}{2} $ 交于点 $ H $. 当 $ BH \geq 2 $ 时,写出 $ m $ 的取值范围.

答案：

(1)①当a≥1时，4 = 2a + 2，解得a = 1；当a＜1时，4 = -a + 2，解得a = -2，所以a的值为1或-2。②当1≤x≤2时，在y = 2x + 2中，y随x增大而增大，所以4≤y≤6。当-1≤x＜1时，在y = -x + 2中，y随x增大而减小，所以1＜y≤3。综上所述，y的取值范围为4≤y≤6或1＜y≤3。
(2)①当2m≥m，即m≥0时，点B在函数y = 2x + 2m的图象上，此时点B(2m，6m)；当2m＜m，即m＜0时，点B在函数y = -x + 2m的图象上，此时点B(2m，0)。②如图
(1)，当m＞0时，B(2m，6m)。在y = -x + 2m中，令y = 4m，解得x = -2m，则D(-2m，4m)，同理C(m，4m)，所以CD = 3m，S三角形BCD = 1/2CD×(6m - 4m) = 3m²。当S三角形BCD = 12时，3m² = 12，解得m = ±2。又因为m＞0，所以m = 2，所以点B的坐标为(4，12)。 ③将x = 2m代入y = x + 3/2得y = 2m + 3/2，所以点H坐标为(2m，2m + 3/2)。当m≥0时，点B坐标为(2m，6m)，如图
(1)，所以BH = |6m - 2m - 3/2| = |4m - 3/2|≥2，解得m≥7/8或m≤-1/8(舍)；当m＜0时，点B坐标为(2m，0)，如图
(2)，所以BH = |2m + 3/2|≥2，解得m≥1/4(舍)或m≤-7/4。综上所述，m的取值范围是m≥7/8或m≤-7/4。