《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

已知有序数对 $ (a,b) $ 及常数 $ k $,我们称有序数对 $ (ka + b,a - b) $ 为有序数对 $ (a,b) $ 的“$ k $ 阶结伴数对”。如 $ (3,2) $ 的“1 阶结伴数对”为 $ (1×3 + 2,3 - 2) $,即 $ (5,1) $。若以有序数对 $ (a,b)(b \neq 0) $ 与它的“$ k $ 阶结伴数对”为坐标的点关于 $ y $ 轴对称,则此时 $ k $ 的值为(B)
A.-2
B.$ -\frac{3}{2} $
C.0
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： B

如图,在 $ 3×3 $ 的正方形网格中有四个格点 $ A,B,C,D $,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是(B)
A.$ A $ 点
B.$ B $ 点
C.$ C $ 点
D.$ D $ 点

答案： B

点 $ (1,1) $ 经过“012012012…”2023 次变换后得到的点的坐标为(2,1)。

答案： (2,1)

(3)如果 $ AC $ 上有一点 $ M(a,b) $,则经过上述两次变换,其在 $ A_2C_2 $ 上的对应点 $ M_2 $ 的坐标是(a + 4,−b)。
(4)$ \triangle ABC $ 的面积为3。

答案：
(3)点M₂的坐标是(a + 4,−b).故答案为(a + 4,−b).
(4)△ABC的面积为2×4 - $\frac{1}{2}$×1×4 - $\frac{1}{2}$×1×2 - $\frac{1}{2}$×2×2 = 8 - 2 - 1 - 2 = 3.故答案为3.

5 [2024 安徽阜阳校级期中,较难]如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 是第一、三象限的角平分线。
实验与探究：
(1)观察图易知 $ A(0,2) $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $ 的坐标为 $ (2,0) $,请在图中分别标明 $ B(5,3) $,$ C(-2,5) $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B',C' $ 的位置,并写出他们的坐标：$ B' $______,$ C' $______。
归纳与发现：
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现：坐标平面内任一点 $ P(a,b) $ 关于第一、三象限的角平分线 $ l $ 的对称点 $ P' $ 的坐标为______(不必证明)。
运用与拓广：
(3)已知两点 $ D(1,-3) $,$ E(-1,-4) $,试在直线 $ l $ 上确定一点 $ Q $,使点 $ Q $ 到 $ D,E $ 两点的距离之和最小,并求出点 $ Q $ 的坐标。

(3,5)(5,-2)(b,a)如图,作点D关于直线l的对称点D',连接ED'交直线l于点Q,连接QD,点Q即为所求.
D(1,−3)关于直线l的对称点为D'(−3,1).设直线ED'的表达式为y = kx + b(k≠0),则{-k + b = -4,-3k + b = 1,
∴ {k = -$\frac{5}{2}$,b = -$\frac{13}{2}$,
∴ 直线ED'的表达式为y = -$\frac{5}{2}$x - $\frac{13}{2}$.联立{y = x,y = -$\frac{5}{2}$x - $\frac{13}{2}$,解得{x = -$\frac{13}{7}$,y = -$\frac{13}{7}$,
∴ Q(-$\frac{13}{7}$,-$\frac{13}{7}$),
∴ 满足条件的点Q的坐标为(-$\frac{13}{7}$,-$\frac{13}{7}$).

答案： [解]
(1)如图,B',C'即为所求.B'(3,5),C'(5,−2).故答案为(3,5),(5,−2).
(2)观察A,B,C关于直线l的对称点A',B',C'的坐标的变化规律可知，点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(b,a).故答案为(b,a).
(3)如图,作点D关于直线l的对称点D',连接ED'交直线l于点Q,连接QD,点Q即为所求.
D(1,−3)关于直线l的对称点为D'(−3,1).设直线ED'的表达式为y = kx + b(k≠0),则{-k + b = -4,-3k + b = 1,
∴ {k = -$\frac{5}{2}$,b = -$\frac{13}{2}$,
∴ 直线ED'的表达式为y = -$\frac{5}{2}$x - $\frac{13}{2}$.联立{y = x,y = -$\frac{5}{2}$x - $\frac{13}{2}$,解得{x = -$\frac{13}{7}$,y = -$\frac{13}{7}$,
∴ Q(-$\frac{13}{7}$,-$\frac{13}{7}$),
∴ 满足条件的点Q的坐标为(-$\frac{13}{7}$,-$\frac{13}{7}$).