《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1 如图,$\triangle ABC$中,以$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,分别交$AC$,$AB于D$,$E$两点,并连接$BD$,$DE$。若$\angle A = 30^{\circ}$,$AB = AC$,则$\angle BDE$的度数为(A)
A.$67.5^{\circ}$
B.$52.5^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： A　[解析]
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
关键点拨：
(1)利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证得CO平分∠ACD。
∵∠A = 30°,
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}$。
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE = BD = BC，
∴∠BDC = ∠ACB = 75°，
∴∠CBD = 180° - 75° - 75° = 30°，
∴∠DBE = 75° - 30° = 45°，
∴∠BED = ∠BDE = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$。故选A。

如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F分别在边BC$,$AB$,$AC$上,且$BD = BE$,$CD = CF$,$\angle A = 70^{\circ}$,那么$\angle FDE$等于(C)
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： C　[解析]在△ABC中，∠B + ∠C = 180° - ∠A = 110°。
在△BED中，BE = BD，
∴∠BDE = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠B)$。
同理，得∠CDF = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠C)$，
∴∠BDE + ∠CDF = 180° - $\frac{1}{2}(∠B + ∠C)$ = 180° - ∠FDE，
∴∠FDE = $\frac{1}{2}(∠B + ∠C)$ = 55°。故选C。

3 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,点$D为AC$边上一点,过点$D作DE // AB$,交$BC于点E$,且$DE = BE$,则$\angle BDE$的度数是______40°。

答案： 40°　[解析]在△ABC中，∠A = 70°，∠C = 30°，
∴∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 80°。
∵DE = BE，
∴∠DBE = ∠BDE。
∵DE//AB，
∴∠BDE = ∠ABD，
∴∠ABD = ∠DBE = $\frac{1}{2}∠ABC = 40^{\circ}$，
∴∠BDE = ∠DBE = 40°。故答案为40°。

4 [2025 安徽安庆校级期末]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值$k$称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰$\triangle ABC$中,$\angle A = 40^{\circ}$,则它的“特征值”$k$等于$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{2}$。

答案： $\frac{4}{7}$或$\frac{5}{2}$　[解析]
∵在等腰△ABC中，∠A = 40°，
∴有以下两种情况：
①当∠A是等腰△ABC的顶角时，等腰△ABC的底角为$\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠A) = 70^{\circ}$，
∴“特征值”k = $\frac{40^{\circ}}{70^{\circ}} = \frac{4}{7}$。
②当∠A是等腰△ABC的底角时，等腰△ABC的顶角为180° - 2∠A = 100°，
∴“特征值”k = $\frac{100^{\circ}}{40^{\circ}} = \frac{5}{2}$。
综上所述，“特征值”k等于$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{2}$。故答案为$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{2}$。

5 [2024 安徽马鞍山期末]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$D为AC$上一点,且$DA = DB$,$CB = CD$,求$\angle DBC$的度数。

答案： 【解】
∵AB = BC，AD = BD，
∴∠A = ∠C = ∠ABD。
∵BC = CD，
∴∠CDB = ∠CBD。
∵∠CDB = ∠A + ∠ABD = 2∠C，
∴∠C + 2∠C + 2∠C = 180°，
∴∠C = 36°，
∴∠DBC = 72°。

6 [2024 福建莆田期末]莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”。如图,“状元阁”的顶端可看作等腰三角形$ABC$,$AB = AC$,$D是边BC$上的一点。下列条件不能说明$AD是\triangle ABC$的角平分线的是(C)

A.$\angle ADB = \angle ADC$
B.$BD = CD$
C.$BC = 2AD$
D.$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

答案： C　[解析]
∵∠ADB = ∠ADC，∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD是△ABC的高线。
又
∵AB = AC，
∴AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意。
∵AB = AC，BD = CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意。
根据BC = 2AD，不可能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意。
∵$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$，
∴BD = CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意。故选C。

7 [2025 安徽合肥庐阳区校级质检]如果一条直线经过三角形的顶点把三角形分为两部分,且这条直线同时平分这个三角形的周长和面积,那么这条直线叫作这个三角形的“两分线”,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,$BC = 6$,$\triangle ABC$有1条“两分线”。

答案： 1　[解析]在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，由等腰三角形三线合一的性质可知，△ABC有1条“两分线”。故答案为1。

8 如图,直线$l_1 // l_2$,$\triangle ABC$是等边三角形。若$\angle 1 = 40^{\circ}$,则$\angle 2$的大小为( )

A.$60^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案：
B　[解析]如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = 60°。
∵∠1 = °0°，
∴∠3 = ∠1 + ∠A = 40° + 60° = l00°。
∵直线$l_{1}// l_{2}$．
∴∠2 + ∠3 = 180°．
∴∠2 = 180° - ∠3 = SO°，故选B。

9 [2025 安徽亳州期末]如图所示,在等边三角形$ABC$中,$AD \perp BC$,$E为AD$上一点,$\angle CED = 55^{\circ}$,则$\angle ABE$等于(C)
A.$10^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： C　[解析]
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD = CD．
∴AD是BC的垂直平分线。
∵点E在AD上，
∴BE = CE，
∴∠EBC = ∠ECB。
∵∠CED = 55°．
∴∠ECB = SS° = ∠EBC．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = 60°．
∴∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = ZS°．故选C。