《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

1[中]如图,点A,D,B,E在一条直线上,$AC// DF,BC// EF,AC= DF$,求证:$AD= BE.$

答案： 【证明】因为AC//DF，BC//EF，所以∠A = ∠EDF，∠ABC = ∠E。又因为AC = DF，所以△ABC≌△DEF(AAS)，所以AB = DE，所以AB - BD = DE - BD，所以AD = BE。

2[中]如图(1)是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图(2)所示,$AB= AE,AC= AD,∠BAD= ∠EAC,∠C= 50^{\circ }$,则$∠D= $50°.

答案： 50°【解析】因为∠BAD = ∠EAC，所以∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD，即∠BAC = ∠EAD。在△BAC与△EAD中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AE\\ ∠BAC = ∠EAD\\ AC = AD\end{array}\right.$，所以△BAC≌△EAD(SAS)，所以∠D = ∠C = 50°。

3[2024江苏淮安调研,中]如图,已知$AD= AB,AC= AE,∠DAB= ∠CAE$,连接DC,BE.
(1)求证:$△BAE\cong △DAC.$
(2)若$∠CAD= 125^{\circ },∠D= 20^{\circ }$,求$∠E$的度数.

答案：
(1)【证明】因为∠DAB = ∠CAE，所以∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，所以∠DAC = ∠BAE。又因为AD = AB，AC = AE，所以△BAE≌△DAC(SAS)。
(2)【解】因为△BAE≌△DAC，所以∠E = ∠C。因为∠CAD = 125°，∠D = 20°，所以∠C = 180° - (∠CAD + ∠D)=180° - (125° + 20°)=35°，所以∠E = ∠C = 35°。

4[2025安徽合肥庐阳区校级质检,中]在$△ABC和△ADE$中,$AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= 90^{\circ }.$
(1)当点D在AC上时,如图(1)所示,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论并说明理由.
(2)当点D在如图(2)所示的位置时,(1)中的数量关系和位置关系是否仍然成立?请说明理由.

答案：
(1)猜想的结论是BD = CE，BD⊥CE。理由如下:延长BD交CE于点F，如图
(1)所示。在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AC\\ ∠BAC = ∠DAE = 90°\\ AD = AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE。
∵∠DAE = 90°，
∴∠ACE + ∠AEC = 90°，
∴∠ABD + ∠AEC = 90°，
∴在△BEF中，∠EFB = 180° - (∠ABD + ∠AEC)=90°，
∴BD⊥CE，故BD = CE，BD⊥CE。
(2)
(1)中的数量关系和位置关系仍然成立，理由如下:延长BD交AC于点G，交CE于点H，如图
(2)所示。
∵∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE。在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AC\\ ∠BAD = ∠CAE\\ AD = AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE。
∵∠BAC = 90°，
∴∠ABD + ∠AGB = 90°。
∵∠AGB = ∠CGH，∠ABD = ∠ACE，
∴∠CGH + ∠ACE = 90°，
∴在△CHG中，∠CHG = 180° - (∠CGH + ∠ACE)=90°，
∴BD⊥CE，故BD = CE，BD⊥CE，即
(1)中的数量关系和位置关系仍然成立。

5[2025安徽六安校级期中,中](1)如图(1),已知在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,直线m经过点A,$BD⊥$直线m,$CE⊥$直线m,垂足分别为点D和点E,证明:$△ABD\cong △CAE,DE= BD+CE.$
(2)如图(2),将(1)中的条件改为在$△ABC$中,$AB= AC$,D,A,E三点都在直线m上,并且有$∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α$,其中α为任意锐角或钝角.请问结论$DE= BD+CE$是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

答案：
(1)【证明】
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA = ∠CEA = 90°，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°。
∵∠BAC = 90°，
∴∠BAD + ∠CAE = 90°，
∴∠CAE = ∠ABD。在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD = ∠CAE\\ ∠BDA = ∠AEC\\ AB = AC\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE，
∴DE = AE + AD = BD + CE。
(2)【解】结论DE = BD + CE成立。证明如下:
∵∠BDA = ∠BAC = α，
∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α，
∴∠CAE = ∠ABD。在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD = ∠CAE\\ ∠BDA = ∠AEC\\ AB = AC\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE，
∴DE = AE + AD = BD + CE。