《2025年初中必刷题八年级数学上册沪科版》

7 [中]如图,在△ABC中,∠A= 52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点$D_1,∠ABD_1$与$∠ACD_1$的平分线交于点$D_2,…,$依次类推$,∠ABD_3$与$∠ACD_3$的平分线交于点$D_4,$则$∠D_4$的度数是______.

60°

答案： 60°　[解析]
∵∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D₁,
∴∠ABC+∠ACB=128°,∠CBD₁=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCD₁=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠CBD₁+∠BCD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=64°,即∠ABD₁+∠ACD₁=64°,
∴∠D₁=116°.
∵∠ABD₁与∠ACD₁的平分线交于点D₂,
∴∠D₂BD₁+∠D₂CD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABD₁+∠ACD₁)=32°,
∴∠CBD₂+∠BCD₂=∠D₂BD₁+∠D₁BC+∠D₂CD₁+∠D₁CB=96°,
∴∠D₂=84°.同理可得∠D₃=68°,∠D₄=60°.故答案为60°.

8 [中]如图,△ABC的角平分线BD,CE相交于点F.
(1)若∠A= 54°,求∠CFD的度数;
(2)试说明:2∠BFC= ∠A+180°.

答案： [解]
(1)
∵∠A=54°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−54°=126°.又
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠CFD=∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=63°.
(2)
∵△ABC的角平分线BD,CE相交于点F,
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BFC=180°−∠CBF−∠BCF=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BFC=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A,即2∠BFC=∠A+180°.

9 [较难]如图,在△ABC中,∠A= α,∠ABC的平分线与△ACB的外角(∠ACD)的平分线交于点$A_1;∠A_1BC$的平分线与$△A_1CB$的外角$(∠A_1CD)$的平分线交于点$A_2,…,$以此类推,则$∠A_2₀_2_2= $$\frac{1}{2^{2022}}\alpha$.

答案： $\frac{1}{2^{2022}}$α　[解析]
∵∠ACD=180°−∠ACB,∠ABC的平分线与△ACB的外角(∠ACD)的平分线交于点A₁,
∴∠A₁=180°−(∠A₁BC+∠ACB+∠ACA₁)=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−∠ACB−$\frac{1}{2}$(180°−∠ACB)=90°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$∠A.同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2^{2}}$∠A,∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{2^{3}}$∠A,…,
∴∠A₂₀₂₂=$\frac{1}{2^{2022}}$∠A.
∵∠A=α,
∴∠A₂₀₂₂=$\frac{1}{2^{2022}}$α.故答案为$\frac{1}{2^{2022}}$α.

(1)如图(1),若∠BPC= α,则∠A= 2α−180°;(用含α的代数式表示)
(2)如图(2),作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系,并说明理由.
∠BPC+∠Q=180°.理由:因为BQ,CQ分别平分∠MBC,∠NCB,所以∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBM,∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCN,所以∠QBC+∠QCB=$\frac{1}{2}$(∠CBM+∠BCN),所以∠QBC+∠QCB=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°+∠A),所以∠QBC+∠QCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A,所以∠Q=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.由(1)知∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,所以∠BPC+∠Q=180°.

答案： [解]
(1)因为BP,CP分别平分∠ABC与∠ACB,所以∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.因为∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB),所以∠BPC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),所以∠BPC=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.因为∠BPC=α,所以∠A=2α−180°.故答案为2α−180°.
(2)∠BPC+∠Q=180°.理由:因为BQ,CQ分别平分∠MBC,∠NCB,所以∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBM,∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCN,所以∠QBC+∠QCB=$\frac{1}{2}$(∠CBM+∠BCN),所以∠QBC+∠QCB=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°+∠A),所以∠QBC+∠QCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A,所以∠Q=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.由
(1)知∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,所以∠BPC+∠Q=180°.

11 [2024河南周口期末,中]如图,在△ABC中,AB= 8,BC= 10,CF⊥AB于点F,AD⊥BC于点D,AD与CF交于点E,∠B= 46°.
(1)求∠AEC的度数.
(2)若AD= 6,求CF的长.

答案： [解]
(1)
∵CF⊥AB,
∴∠CFB=90°.
∵∠B=46°,
∴∠BCF=44°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠AEC=∠ADC+∠BCF=90°+44°=134°.
(2)
∵CF⊥AB,AD⊥BC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·CF.
∵AB=8,BC=10,AD=6,
∴CF=$\frac{AD·BC}{AB}$=$\frac{6×10}{8}$=$\frac{15}{2}$.