《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

14. 已知:如图,点A,D,B,E 在同一直线上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E. 求证:△ABC≌△EDF.
证明:∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，∴AB=ED，在△ABC和△EDF中，{AB=ED,∠A=∠E,AC=EF,}∴△ABC≌△EDF(SAS)

答案： $ \because AD = BE $，$ \therefore AD + BD = BE + BD $，$ \therefore AB = ED $，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle EDF $ 中，$ \begin{cases} AB = ED, \\ \angle A = \angle E, \\ AC = EF, \end{cases} $ $ \therefore \triangle ABC \cong \triangle EDF(SAS) $。

15. 如图,已知∠D=∠B,DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E.
(1) 求证:AD//BC;
证明：∵ DF⊥AC 于点 F，BE⊥AC 于点 E，∴ ∠AFD = ∠CEB = 90°，∴ ∠A + ∠D = 90°，∠B + ∠C = 90°，∵ ∠D = ∠B，∴ ∠A = ∠C，∴ AD // BC
(2) 若AE=CF,求证:△AFD≌△CEB.
证明：∵ AE = CF，∴ AE - EF = CF - EF，即 AF = CE，在 △AFD 和 △CEB 中，{∠A = ∠C, ∠D = ∠B, AF = CE,} ∴ △AFD ≌ △CEB(AAS)

答案：
(1) $ \because DF \perp AC $ 于点 $ F $，$ BE \perp AC $ 于点 $ E $，$ \therefore \angle AFD = \angle CEB = 90^\circ $，$ \therefore \angle A + \angle D = 90^\circ $，$ \angle B + \angle C = 90^\circ $，$ \because \angle D = \angle B $，$ \therefore \angle A = \angle C $，$ \therefore AD // BC $；
(2) $ \because AE = CF $，$ \therefore AE - EF = CF - EF $，即 $ AF = CE $，在 $ \triangle AFD $ 和 $ \triangle CEB $ 中，$ \begin{cases} \angle A = \angle C, \\ \angle D = \angle B, \\ AF = CE, \end{cases} $ $ \therefore \triangle AFD \cong \triangle CEB(AAS) $。

16. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 是AB 上的一点,且AE=BC,连接DE,EC,DE=EC. 求证:Rt△ADE≌Rt△BEC.

证明:∵∠A=∠B=90°,∴△ADE和△BEC均为直角三角形,在Rt△ADE和Rt△BEC中,∵{DE=EC,AE=BC,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).

答案： $ \because \angle A = \angle B = 90^\circ $，$ \therefore \triangle ADE $ 和 $ \triangle BEC $ 均为直角三角形，在 $ Rt \triangle ADE $ 和 $ Rt \triangle BEC $ 中，$ \because \begin{cases} DE = EC, \\ AE = BC, \end{cases} $ $ \therefore Rt \triangle ADE \cong Rt \triangle BEC(HL) $。

17. 如图,已知:A,F,C,D 在同一条直线上,BC=EF,AB=DE,AC=FD. 求证:
(1) BC//EF;
(2) CE=BF.
(1) 在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 中，$ \begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases} $ $ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF(SSS) $，$ \therefore \angle BCA = \angle EFD $，$ \therefore BC // EF $；
(2) $ \because \triangle ABC \cong \triangle DEF $，$ \therefore \angle A = \angle D $，$ \because AC = DF $，$ \therefore AC - CF = DF - CF $，$ \therefore AF = DC $，$ \because AB = DE $，$ \therefore \triangle ABF \cong \triangle DEC(SAS) $，$ \therefore CE = BF $。

答案：
(1) 在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 中，$ \begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases} $ $ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF(SSS) $，$ \therefore \angle BCA = \angle EFD $，$ \therefore BC // EF $；
(2) $ \because \triangle ABC \cong \triangle DEF $，$ \therefore \angle A = \angle D $，$ \because AC = DF $，$ \therefore AC - CF = DF - CF $，$ \therefore AF = DC $，$ \because AB = DE $，$ \therefore \triangle ABF \cong \triangle DEC(SAS) $，$ \therefore CE = BF $。