《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

26. 【操作拼图】
已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中$OC$与直线$MN$重合，$∠AOM=∠COD=30^{\circ}$，$∠AOB=45^{\circ}$.

(1)在上述所拼图形中，$∠BOD$的度数为______$^{\circ}$；
【问题探究】
(2)在上述所拼图形基础上，让三角板$COD$固定不动，将三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$3^{\circ}$的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线$MN$的上方.设三角板$AOB$的旋转时间为$t$秒，在旋转过程中，请求出当$∠BOC=2∠BOD$时，旋转时间$t$的值；
【拓展延伸】
(3)在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$3^{\circ}$的速度顺时针方向旋转的同时，三角板$COD$也绕着点$O$以每秒$2^{\circ}$的速度逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块三角板均在直线$MN$的上方，且当三角板$AOB$停止旋转时，三角板$COD$也停止旋转.设三角板$AOB$的旋转时间为$t$秒.在旋转过程中，是否存在某一时刻使$OB$，$OD$，$OC$三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时$t$的值；若不存在，请说明理由.

答案：

(1) $\because \angle AOM = \angle COD = 30^{\circ}, \angle AOB = 45^{\circ}$,
$\therefore \angle BOD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$, 故答案为 75;
(2) 当 OB 在 $\angle COD$ 外部, 且 $\angle BOC = 2\angle BOD$ 时, $\because \angle BOC = \angle BOD + \angle COD, \therefore 2\angle BOD = \angle BOD + \angle COD, \therefore \angle BOD = \angle COD = 30^{\circ}$,
$\therefore 75 - 3t = 30$, 解得 $t = 15$; 当 OB 在 $\angle COD$ 内部, 且 $\angle BOC = 2\angle BOD$ 时, $\because 2\angle BOD + \angle BOD = 30^{\circ}, \therefore \angle BOD = 10^{\circ}, \therefore 3t - 75 = 10$, 解得 $t = \frac{85}{3}$; 综上所述, 旋转时间 $t$ 的值为 15 秒或 $\frac{85}{3}$ 秒;
(3) 存在, 由 $30 + 45 + 3t = 180$ 得 $t = 35, \therefore$ 当 $t = 35$ 时, OB 与 ON 重合, 此时三角板 AOB 停止旋转, 当 OD 平分 $\angle BOC$ 时, 则 $\angle BOD = \angle COD = 30^{\circ}$,

$\therefore 75 - 3t - 2t = 30$, 解得 $t = 9$; 当 OB 平分 $\angle COD$ 时, 则 $\angle BOD = \angle COB = 15^{\circ}$,

$\therefore 75 - 3t + 30 - 2t = 15$, 解得 $t = 18$;
当 OC 平分 $\angle BOD$ 时, 则: $\angle BOC = \angle COD = 30^{\circ}$,

$\therefore 3t - 75 + 2t - 30 = 30$, 解得 $t = 27$; 综上所述, $t = 9$ 或 $t = 18$ 或 $t = 27$.