《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

16. 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ D E // A C $ 交 $ A B $，$ B C $ 于点 $ D $，$ E $，$ E F $ 平分 $ \angle D E B $ 交 $ A B $ 于点 $ F $，且 $ \angle B = 42 ^ { \circ } $，$ \angle D F E = 73 ^ { \circ } $，求 $ \angle A $ 的度数。
$\because \angle DFE=\angle B+\angle BEF,\angle B=42^{\circ},\angle DFE=73^{\circ},\therefore \angle BEF=73^{\circ}-42^{\circ}=$31°，$\because EF$ 平分 $\angle DEB,\therefore \angle DEB=2\angle FEB=$62°$,\because DE// AC,\therefore \angle C=\angle DEB=$62°$,\because \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},\therefore \angle A=180^{\circ}-42^{\circ}-62^{\circ}=$76°。

答案： $\because \angle DFE=\angle B+\angle BEF,\angle B=42^{\circ},\angle DFE=73^{\circ},\therefore \angle BEF=73^{\circ}-42^{\circ}=31^{\circ}$，$\because EF$ 平分 $\angle DEB,\therefore \angle DEB=2\angle FEB=62^{\circ},\because DE// AC,\therefore \angle C=\angle DEB=62^{\circ},\because \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},\therefore \angle A=180^{\circ}-42^{\circ}-62^{\circ}=76^{\circ}$。

17. 如图，$ \triangle A O B $ 与 $ \triangle C O D $ 中的 $ \angle A O B $ 与 $ \angle C O D $ 是对顶角。
(1) 如图 1，证明：$ \angle A + \angle B = \angle C + \angle D $；
$\because \angle A+\angle B+\angle AOB=180^{\circ},\angle C+\angle D+\angle COD=180^{\circ},\angle AOB=\angle COD,\therefore \angle A+\angle B=\angle C+\angle D$
(2) 如图 2，$ A P $，$ D P $ 分别是 $ \angle B A O $，$ \angle C D O $ 的平分线，探索 $ \angle P $，$ \angle B $ 和 $ \angle C $ 之间的数量关系并加以证明；
结论：$\angle B+\angle C=2\angle P$，理由如下，$\because AP,DP$ 分别是 $\angle BAO,\angle CDO$ 的平分线，$\therefore \angle BAP=\angle PAC=\frac{1}{2}\angle BAO,\angle BDP=\angle PDC=\frac{1}{2}\angle CDO$，由(1)可知，$\angle BAO+\angle B=\angle CDO+\angle C,\angle B+\angle BAP=\angle BDP+\angle P,\angle PDC+\angle C=\angle PAO+\angle P$，即 $\angle B+\frac{1}{2}\angle BAO=\frac{1}{2}\angle ODC+\angle P,\angle C+\frac{1}{2}\angle CDO=\frac{1}{2}\angle BAO+\angle P,\therefore \angle B+\angle C=2\angle P$
(3) 如图 3，$ \angle B A O $ 与 $ \angle C D O $ 的相邻补角平分线交于点 $ P $，探索 $ \angle P $，$ \angle B $ 和 $ \angle C $ 之间的数量关系并加以证明。
结论：$2\angle P=\angle B+\angle C$。理由如下，$\because \angle BAO$ 与 $\angle CDO$ 的相邻补角平分线交于点 $P,\therefore \angle PAB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAO),\angle PDB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC),\because \angle P+\angle PAB=\angle B+\angle PDB,\therefore \angle P+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAO)=\angle B+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC)$，即 $2\angle P-\angle BAO=2\angle B-\angle BDC$①，又 $\because \angle BAO+\angle B=\angle C+\angle BDC$②，①+②得 $2\angle P=\angle B+\angle C$

答案：
(1) $\because \angle A+\angle B+\angle AOB=180^{\circ},\angle C+\angle D+\angle COD=180^{\circ},\angle AOB=\angle COD,\therefore \angle A+\angle B=\angle C+\angle D$；
(2)结论：$\angle B+\angle C=2\angle P$，理由如下，$\because AP,DP$ 分别是 $\angle BAO,\angle CDO$ 的平分线，$\therefore \angle BAP=\angle PAC=\frac{1}{2}\angle BAO,\angle BDP=\angle PDC=\frac{1}{2}\angle CDO$，由
(1)可知，$\angle BAO+\angle B=\angle CDO+\angle C,\angle B+\angle BAP=\angle BDP+\angle P,\angle PDC+\angle C=\angle PAO+\angle P$，即 $\angle B+\frac{1}{2}\angle BAO=\frac{1}{2}\angle ODC+\angle P,\angle C+\frac{1}{2}\angle CDO=\frac{1}{2}\angle BAO+\angle P,\therefore \angle B+\angle C=2\angle P$；
(3)结论：$2\angle P=\angle B+\angle C$。理由如下，$\because \angle BAO$ 与 $\angle CDO$ 的相邻补角平分线交于点 $P,\therefore \angle PAB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAO),\angle PDB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC),\because \angle P+\angle PAB=\angle B+\angle PDB,\therefore \angle P+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAO)=\angle B+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC)$，即 $2\angle P-\angle BAO=2\angle B-\angle BDC$①，又 $\because \angle BAO+\angle B=\angle C+\angle BDC$②，①+②得 $2\angle P=\angle B+\angle C$。