《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车$4S$店计划购进一批新能源汽车进行销售。据了解，购进$3$辆$A$型新能源汽车、$2$辆$B$型新能源汽车共需$95$万元；购进$4$辆$A$型新能源汽车、$1$辆$B$型新能源汽车共需$110$万元。
（1）问$A$，$B$两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用$250$万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售$1$辆$A$型汽车可获利$1.2$元，销售$1$辆$B$型汽车可获利$0.8$元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少元？

答案：
(1)设 $ A $ 种型号的汽车每辆进价为 $ x $ 万元，$ B $ 型号的汽车每辆进价为 $ y $ 万元，由题意可得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 95, } \\ { 4 x + y = 110, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 25, } \\ { y = 10, } \end{array} \right. $ 所以 $ A $，$ B $ 两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、10 万元；
(2)设购买 $ A $ 型号的汽车 $ m $ 辆，$ B $ 型号的汽车 $ n $ 辆，由题意可得 $ 25 m + 10 n = 250 $ 且 $ m $，$ n $ 均为正整数，解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 2, } \\ { n = 20 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 4, } \\ { n = 15 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 6, } \\ { n = 10 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 8, } \\ { n = 5, } \end{array} \right. $ $ \therefore $ 该公司共有四种购买方案：
当 $ m = 2 $，$ n = 20 $ 时，获得的利润：$ 1.2 \times 2 + 0.8 \times 20 = 18.4 $（万元），当 $ m = 4 $，$ n = 15 $ 时，获得的利润：$ 1.2 \times 4 + 0.8 \times 15 = 16.8 $（万元），当 $ m = 6 $，$ n = 10 $ 时，获得的利润：$ 1.2 \times 6 + 0.8 \times 10 = 15.2 $（万元），当 $ m = 8 $，$ n = 5 $ 时，获得的利润：$ 1.2 \times 8 + 0.8 \times 5 = 13.6 $（万元），由上可得，最大利润为 18.4 万元。

21. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值。如以下问题：已知实数$x$，$y$满足$3x - y = 5$，$2x + 3y = 7$，求$x - 4y$和$7x + 5y$的值。本题常规思路是将$3x - y = 5$①，$2x + 3y = 7$②联立组成方程组，解得$x$，$y$的值再代入欲求值的代数式得到答案。常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①$-$②可得$x - 4y = -2$，由①$+$②$×2$可得$7x + 5y = 19$。这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。
解决问题：
（1）已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 4,\\x + 2y = 5,\end{cases}$则$x - y =$$-1$，$x + y =$$3$；
（2）试说明在关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a,\\x - 5y = 3a\end{cases}$中，不论$a$取什么实数，$x + y$的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买$3$支铅笔、$5$块橡皮、$1$本笔记本共需$21$元，买$4$支铅笔、$7$块橡皮、$1$本笔记本共需$28$元，则购买$10$支铅笔、$10$块橡皮、$10$本笔记本共需$70$元？

答案：
(1) $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4, ① } \\ { x + 2 y = 5, ② } \end{array} \right. $
① $ - $ ②得：$ x - y = - 1 $，① $ + $ ②得：$ 3 x + 3 y = 9 $ 等式两边同时除以 3 得：$ x + y = 3 $，故答案为 $ - 1 $，3；
(2) $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 - a, ① } \\ { x - 5 y = 3 a, ② } \end{array} \right. $
① $ + $ ②得 $ 2 x - 2 y = 4 + 2 a $，等式两边同时除 2 得 $ x - y = 2 + a $ ③，① $ + $ ③得 $ 2 x + 2 y = 6 $，等式两边同时除以 2 得 $ x + y = 3 $，因此不论 $ a $ 取什么实数，$ x + y $ 的值始终不变；
(3)设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为 $ x $，$ y $，$ z $ 元，由题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y + z = 21, ① } \\ { 4 x + 7 y + z = 28, ② } \end{array} \right. $
② $ - $ ①得 $ x + 2 y = 7 $，等式两边同时乘 2 得：$ 2 x + 4 y = 14 $ ③，① $ - $ ③得：$ x + y + z = 7 $，故 $ 10 x + 10 y + 10 z = 70 $，即购买 10 支铅笔、10 块橡皮、10 本笔记本共需 70 元。