《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

23. 某商店购进甲、乙两种型号的服装，已知购进甲种服装$20$件，乙种服装$15$件，用去$2000$元；购进甲种服装$10$件，乙种服装$30$件，用去$2800$元.
（1）甲、乙两种服装每件的进价各是多少？
（2）若甲种服装每件售价为$50$元，乙种服装每件售价为$100$元，该商店预计用不高于$6480$元钱购进两种服装共$100$件，在全部销售出后总获利不低于$1600$元，有几种购货方案？

答案：
(1)设甲种服装每件的进价为x元，乙种服装每件的进价为y元.
由题意得$ \left\{ \begin{array} { l } { 20 x + 15 y = 2000 , } \\ { 10 x + 30 y = 2800 , } \end{array} \right. $解得$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 40 , } \\ { y = 80 . } \end{array} \right. $故甲种服装每件的进价为40元，乙种服装每件的进价为80元；
(2)设购进甲种服装a件，则购进乙种服装$ ( 100 - a ) $件.由题意得
$ \left\{ \begin{array} { l } { ( 50 - 40 ) a + ( 100 - 80 ) ( 100 - a ) \geq 1600 , } \\ { 40 a + 80 ( 100 - a ) \leq 6480 , } \end{array} \right. $
解得$ 38 \leq a \leq 40 $.
∵a为正整数，
∴$ a = 38 $，39，40.故共有3种购货方案.方案一：购进甲种服装38件，购进乙种服装62件；方案二：购进甲种服装39件，购进乙种服装61件；方案三：购进甲种服装40件，购进乙种服装60件.

24. 在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错.数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法.
【整体代入法】例：解方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y-1=0,①\\ 4(x-y)-y=5②\end{array}\right.$时，由①，得$x-y=1$③，然后将③代入②，得$4× 1-y=5$，解得$y=-1$.将$y=-1$代入③，得$x=0$.故该方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=-1.\end{array}\right.$
【轮换式解法】例：解方程组$\left\{\begin{array}{l} 19x+18y=17,①\\ 17x+16y=15②\end{array}\right.$时，①$-$②，得$2x+2y=2$，即$x+y=1$③.③$× 16$，得$16x+16y=16$④.②$-$④，得$x=-1$.将$x=-1$代入③，得$y=2$.故该方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2.\end{array}\right.$
根据上面方法，解决下列问题.
（1）解方程组：$\left\{\begin{array}{l} x+y+3=10,\\ 4(x+y)-y=25;\end{array}\right.$
由①，得$ x + y = 7 $.③把③代入②，得$ 4 × 7 - y = 25 $，解得$ y = 3 $.把$ y = 3 $代入③，得$ x + 3 = 7 $，解得$ x = 4 $.故方程组的解为$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 4 , } \\ { y = 3 ; } \end{array} \right. $
（2）解方程组：$\left\{\begin{array}{l} 2077x-2078y=2079,\\ 2078x-2079y=2080.\end{array}\right.$
②-①，得$ x - y = 1 $.③③×2077，得$ 2077 x - 2077 y = 2077 $.④④-①，得$ y = - 2 $.把$ y = - 2 $代入③，得$ x = - 1 $.故方程组的解为$ \left\{ \begin{array} { l } { x = - 1 , } \\ { y = - 2 . } \end{array} \right. $

答案：
(1)$ \left\{ \begin{array} { l } { x + y + 3 = 10 , \textcircled { 1 } } \\ { 4 ( x + y ) - y = 25 . \textcircled { 2 } } \end{array} \right. $
由①，得$ x + y = 7 $.③
把③代入②，得$ 4 \times 7 - y = 25 $，解得$ y = 3 $.
把$ y = 3 $代入③，得$ x + 3 = 7 $，解得$ x = 4 $.
故方程组的解为$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 4 , } \\ { y = 3 ; } \end{array} \right. $
(2)$ \left\{ \begin{array} { l } { 2077 x - 2078 y = 2079 , \textcircled { 1 } } \\ { 2078 x - 2079 y = 2080 . \textcircled { 2 } } \end{array} \right. $
②-①，得$ x - y = 1 $.③
③×2077，得$ 2077 x - 2077 y = 2077 $.④
④-①，得$ y = - 2 $.
把$ y = - 2 $代入③，得$ x = - 1 $.
故方程组的解为$ \left\{ \begin{array} { l } { x = - 1 , } \\ { y = - 2 . } \end{array} \right. $