《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

23. 如图1,点$O$为直线$AB$上一点,过点$O$作射线$OC$,使$∠AOC = 60^{\circ}$. 将一直角三角板的直角顶点放在点$O$处,一边$OM$在射线$OB$上,另一边$ON$在直线$AB$的下方.
(1) 将图1中的三角板绕点$O$逆时针旋转至图2,使一边$OM$在$∠BOC$的内部. 且恰好平分$∠BOC$,求$∠CON$的度数;
(2) 在图3中,延长线段$NO$得到射线$OD$,判断$OD$是否平分$∠AOC$,请说明理由;
(3) 将图1中的三角板绕点$O$按每秒$10^{\circ}$的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第$t$秒时,直线$ON$恰好平分锐角$∠AOC$,则$t$的值为______.(直接写出答案)

答案：

(1)$\because ∠AOC = 60^{\circ},\therefore ∠BOC = 120^{\circ},\because OM$恰好平分$∠BOC,\therefore ∠COM = ∠BOM = \frac{1}{2}∠BOC = 120^{\circ}÷2 = 60^{\circ},\therefore ∠CON = ∠COM + ∠MON = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$;
(2)$\because ∠AOD = ∠BON$(对顶角),$∠BON = ∠CON - ∠BOC = 150^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ}.\therefore ∠AOD = 30^{\circ}$,又$\because ∠AOC = 60^{\circ},\therefore ∠DOC = ∠AOC - ∠AOD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}.\therefore ∠AOD = ∠DOC$,
$\therefore OD$平分$∠AOC$;
(3)30 或 12. 如图,当 ON 的反向延长线 OF 平分$∠AOC$时,

$∠AOF = \frac{1}{2}∠AOC = 30^{\circ},\therefore ∠BON = ∠AOF = 30^{\circ},\therefore ON$旋转的角度是$90^{\circ} + 180^{\circ} + 30^{\circ} = 300^{\circ},\therefore 10t = 300,\therefore t = 30$;如图,当 ON 平分$∠AOC$时,

$∠AON = \frac{1}{2}∠AOC = 30^{\circ},\therefore ON$旋转的角度是$90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ},\therefore 10t = 120,\therefore t = 12$,综上,$t = 30$或$t = 12$. 即此时三角板绕点 O 旋转的时间是 30 或 12 秒.

24. 如图,在数轴上有一点$C$,在$C$的左边距$C$点12个单位长度处有一点$A$,原点为$B$.
(1) 点$A$表示的数为-2,线段$AC$的中点对应的数为4;
(2) 点$A,C$同时出发,$A$点以1个单位长度/秒的速度向右运动,$C$点以2个单位长度/秒的速度向左运动,当运动多少秒时,$A,C$两点能相遇;4
(3) 现有动点$P,Q$和一定点$D$,点$D$在数轴上所表示的数为2,$P,Q$分别从点$A,C$同时出发,分别以1个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度先向点$D$运动,到达点$D$后再向其相反方向运动,在运动过程中,当$PD = QD$时,求时间$t$.$t = 2$或$t = 3$

答案：
(1)由图可知,C 表示的数是 10,$\because$点 A 在 C 的左边距 C 点 12 个单位长度,$\therefore$点 A 表示的数是$10 - 12 = -2$,线段 AC 的中点对应的数为$\frac{-2 + 10}{2} = 4$,故答案为$-2,4$;
(2)运动$t$秒后,A 表示的数是$-2 + t$,C 表示的数是$10 - 2t$,根据题意得$-2 + t = 10 - 2t$,解得$t = 4$;即运动 4 秒时,A,C 两点能相遇;
(3)当 Q 未到 D 时,Q 表示的数是$10 - 3t$,
$\therefore QD = 10 - 3t - 2 = 8 - 3t$,由$PD = QD$可得$2 - (-2 + t) = 8 - 3t$,解得$t = 2$,当 Q 到达 D 后返回时,Q 表示的数是$2 + 3(t - \frac{10 - 2}{3}) = 3t - 6,\therefore QD = 3t - 6 - 2 = 3t - 8$. 由$PD = QD$可得$2 - (-2 + t) = 3t - 8$,解得$t = 3$. 综上所述,$t = 2$或$t = 3$.