《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

18. 在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-5,-1) $，$ B(1,-1) $。
（1）在 $ y $ 轴上找一点 $ C $，使之满足 $ S_{\triangle ABC} = 15 $，求点 $ C $ 的坐标；∵A(-5,-1)，B(1,-1)，∴AB = 1 - (-5) = 6，S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·h = $\frac{1}{2}$×6h = 15，解得 h = 5，当点 C 在 y 轴的正半轴时，点 C 的坐标为(0,4)，当点 C 在 y 轴的负半轴时，点 C 的坐标为(0,-6)
（2）在平面直角坐标系中找点 $ C $，能满足 $ S_{\triangle ABC} = 15 $ 的点 $ C $ 有多少个？这些点有什么特征？∵到直线 AB 的距离等于 5 的点有无数个，∴在平面直角坐标系中，使三角形 ABC 的面积为 15 的点有无数个，这些点到直线 AB 的距离等于 5

答案：
(1)
∵A(-5,-1)，B(1,-1)，
∴AB = 1 - (-5) = 6，S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·h = $\frac{1}{2}$×6h = 15，解得 h = 5，当点 C 在 y 轴的正半轴时，点 C 的坐标为(0,4)，当点 C 在 y 轴的负半轴时，点 C 的坐标为(0,-6)；
(2)
∵到直线 AB 的距离等于 5 的点有无数个，
∴在平面直角坐标系中，使三角形 ABC 的面积为 15 的点有无数个，这些点到直线 AB 的距离等于 5.

19. 在平面直角坐标系中，已知点 $ M(2m + 4,m - 1) $，请分别根据下列条件求出点 $ M $ 的坐标。
（1）点 $ M $ 在 $ y $ 轴上；
（2）点 $ M $ 的纵坐标比横坐标小 $ 2 $；
（3）点 $ M $ 在过点 $ A(3,-4) $ 且与 $ y $ 轴平行的直线上。

答案：
(1)
∵点 M(2m + 4,m - 1)在 y 轴上，
∴2m + 4 = 0，
∴m = -2，
∴m - 1 = -3，
∴点 M 的坐标为(0,-3)；
(2)
∵点 M(2m + 4,m - 1)的纵坐标比横坐标小 2，
∴2m + 4 - 2 = m - 1，
∴m = -3，
∴2m + 4 = -2，m - 1 = -4，
∴点 M 的坐标为(-2,-4)；
(3)
∵点 M 在过点 A(3,-4)且与 y 轴平行的直线上，
∴2m + 4 = 3，
∴m = -$\frac{1}{2}$，
∴m - 1 = -$\frac{3}{2}$，
∴点 M 的坐标为(3,-$\frac{3}{2}$).

20. 如图，如果长方形 $ ABCD $ 的宽 $ AB = 4 $，长 $ BC = 6 $，请按下列要求分别建立坐标系，并写出其他三点的坐标，指出它们所在的象限。
（1）使点 $ D $ 的坐标为 $ (6,4) $；
（2）使点 $ B $ 的坐标为 $ (-3,-2) $。

答案：

(1)如图，A，B，C 三点的坐标分别为 A(0,4)，B(0,0)，C(6,0)，它们都不在任何象限内.

(2)如图，A，C，D 三点的坐标分别为 A(-3,2)，C(3,-2)，D(3,2)，其中点 A 在第二象限，点 C 在第四象限，点 D 在第一象限.

21. 已知当 $ m $，$ n $ 都是实数，且满足 $ 2m = 8 + n $ 时，称 $ P(m - 1,\frac{n + 2}{2}) $ 为“好点”。
（1）判断点 $ A(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}) $，$ B(4,10) $ 是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点 $ M(a,2a - 1) $ 是“好点”，请判断点 $ M $ 在第几象限，并说明理由。

答案：
(1)点 A($\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$)为“好点”. 理由如下：
当 A($\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$)时，m - 1 = $\frac{3}{2}$，$\frac{n + 2}{2}$ = -$\frac{1}{2}$，得 m = $\frac{5}{2}$，n = -3，则 2m = 5，8 + n = 5，所以 2m = 8 + n，所以 A($\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$)是“好点”. 点 B(4,10)不是“好点”. 理由如下：当 B(4,10)时，m - 1 = 4，$\frac{n + 2}{2}$ = 10，得 m = 5，n = 18，则 2m = 10，8 + 18 = 26，所以 2m ≠ 8 + n，所以点 B(4,10)不是“好点”；
(2)点 M 在第三象限. 理由如下：
∵点 M(a,2a - 1)是“好点”，
∴m - 1 = a，$\frac{n + 2}{2}$ = 2a - 1，
∴m = a + 1，n = 4a - 4，代入 2m = 8 + n，得 2a + 2 = 8 + 4a - 4，
∴a = -1，2a - 1 = -3，
∴M(-1,-3)，
∴点 M 在第三象限.