《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

1. 如图，已知直线$l_{1},l_{2}$被直线$l_{3}$所截，若$∠1+∠4=180^{\circ }$，则$l_{1}$与$l_{2}$有何位置关系？说明你的理由.

平行,理由:$\because ∠1+∠4=180^{\circ },∠1=∠3,\therefore ∠3+∠4=180^{\circ },\therefore l_{1}// l_{2}.$

答案： 平行,理由:$\because ∠1+∠4=180^{\circ },∠1=∠3,\therefore ∠3+∠4=180^{\circ },\therefore l_{1}// l_{2}.$

2. 如图，$∠AOC=108^{\circ },∠BOC=36^{\circ }$，图中有没有互补的角？请说明理由.

有,$∠AOB$与$∠AOC$,先求出$∠AOB$,然后根据补角定义可以得到.

答案： 解：因为$\angle AOC = 108^{\circ}$，$\angle BOC = 36^{\circ}$，所以$\angle AOB=\angle AOC - \angle BOC=108^{\circ}-36^{\circ} = 72^{\circ}$。
又因为$\angle AOC+\angle AOB=108^{\circ}+72^{\circ}=180^{\circ}$。
根据互补角的定义：若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互补。
所以$\angle AOC$与$\angle AOB$是互补的角。
综上，图中有互补的角，即$\angle AOC$与$\angle AOB$互补。

3. 班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学.已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元.
（1）若购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案.

答案：
(1)设圆珠笔买了x支,钢笔买了y支.据题意,得$\left\{\begin{array}{l} x+y=22,\\ 5x+6y=120.\end{array}\right. $解这个方程组,得$\left\{\begin{array}{l} x=12,\\ y=10.\end{array}\right. $所以圆珠笔买了12支,钢笔买了10支;
(2)设购买圆珠笔x支,购买钢笔$(22-x)$支.依题意得$5×0.9x+6×0.8(22-x)≤100$.解这个不等式,得$x≥\frac {56}{3}$.因为x为整数,所以$x=19,$20,21,22.所以一种方案是购买圆珠笔19支,购买钢笔3支.(答案不唯一)

4. 如图，$AB// CD,∠BEF=∠BFE,∠DEG=∠DGE$，你能判断EG与EF的位置关系吗？说明你的理由.

EG与EF的位置关系是$EG\bot EF$，
理由：$\because AB// CD$，
$\therefore \angle B+\angle D=180^{\circ }$，
$\because \angle BEF=\angle BFE$，$\angle DEG=\angle DGE$，
$\therefore \angle FEB=\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle B)$，
$\angle GED=\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle D)$，
$\therefore \angle FEB+\angle GED=\frac {1}{2}(180^{\circ }+180^{\circ }-\angle B-\angle D)=90^{\circ }$，
$\therefore \angle FEG=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$，
$\therefore EG\bot EF$．

答案： $EG\bot EF$，
理由：$\because AB// CD$，
$\therefore \angle B+\angle D=180^{\circ }$，
$\because \angle BEF=\angle BFE$，$\angle DEG=\angle DGE$，
$\therefore \angle FEB=\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle B)$，
$\angle GED=\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle D)$，
$\therefore \angle FEB+\angle GED=\frac {1}{2}(180^{\circ }+180^{\circ }-\angle B-\angle D)=90^{\circ }$，
$\therefore \angle FEG=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$，
$\therefore EG\bot EF$．

5. 如图，$∠EAC=2∠B$，且AD平分$∠EAC$，请说明AD与BC的关系，并说明理由.
AD与BC的关系是AD//BC，理由如下：
∵$∠EAC = 2∠B$
∴$∠B=\frac{1}{2}∠EAC$
∵$AD$平分$∠EAC$
∴$∠EAD=\frac{1}{2}∠EAC$
∴$∠B = ∠EAD$
∴$AD// BC$

答案： 证明：
∵$∠EAC = 2∠B$
∴$∠B=\frac{1}{2}∠EAC$
∵$AD$平分$∠EAC$
∴$∠EAD=\frac{1}{2}∠EAC$
∴$∠B = ∠EAD$
∴$AD// BC$