《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

6. 某校团委为了教育学生,开展了以“感恩”为主题的有奖征文活动,并为获奖的同学颁发奖品.小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品,若买甲种笔记本$20$本,乙种笔记本$10$本,共用$110$元,且买甲种笔记本$30$本比买乙种笔记本$20$本少花$10$元.
(1) 求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元?
(2) 若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的$2$倍还少$10$本,且购进两种笔记本的总数量不少于$80$本,总金额不超过$320$元.请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.

答案：
(1)设甲种笔记本的单价是 x 元,乙种笔记本的单价是 y 元.根据题意可得$\begin{cases}20x + 10y = 110,\\30x + 10 = 20y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 5;\end{cases}$
(2)设本次购买乙种笔记本 m 本,则甲种笔记本$(2m - 10)$本,根据题意可得$\begin{cases}2m - 10 + m≥80,\\3(2m - 10) + 5m≤320,\end{cases}$解得$30≤m≤31\frac{9}{11}$,因为 m 为正整数,所以$m = 30$或$m = 31$,当$m = 30$时,$2m - 10 = 50$;当$m = 31$时,$2m - 10 = 52$.

7. 在实施“中小学校舍安全工程”之际,某市计划对$A$,$B$两类学校的校舍进行改造,根据预算,改造一所$A$类学校和三所$B$类学校的校舍共需资金$480$万元,改造三所$A$类学校和一所$B$类学校的校舍共需资金$400$万元.
(1) 改造一所$A$类学校的校舍和一所$B$类学校的校舍所需资金分别是多少万元?
(2) 该市某县$A$,$B$两类学校共有$8$所校舍需要改造.改造资金由国家财政和地方财政共同承担,若国家财政拨付的改造资金不超过$770$万元,地方财政投入的资金不少于$210$万元,其中地方财政投入到$A$,$B$两类学校的改造资金分别为每所$20$万元和$30$万元,请你通过计算求出有几种改造方案,每个方案中$A$,$B$两类学校各有几所?

答案：
(1)设改造一所 A 类学校的校舍需资金 x 万元,改造一所 B 类学校的校舍需资金 y 万元,则$\begin{cases}x + 3y = 480,\\3x + y = 400,\end{cases}$解之得$\begin{cases}x = 90,\\y = 130;\end{cases}$
(2)设 A 类学校有 a 所,则 B 类学校有$(8 - a)$所,则:
$\begin{cases}20a + 30(8 - a)≥210,\\(90 - 20)a + (130 - 30)(8 - a)≤770,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a≤3,\\a≥1,\end{cases}$
∴$1≤a≤3$,即$a = 1,2,3$.即有 3 种改造方案:方案一:A 类学校 1 所,B 类学校 7 所;方案二:A 类学校 2 所,B 类学校 6 所;方案三:A 类学校 3 所,B 类学校 5 所.