《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

18. （1）如图，$DE// BC$，$CD\perp AB$，$GF\perp AB$，试说明$\angle CDE=\angle BGF$；
$\because DE // BC$，$\therefore \angle CDE = \angle BCD$，$\because CD \perp AB$，$GF \perp AB$，$\therefore CD // GF$，$\therefore \angle BGF = \angle BCD$，$\therefore \angle CDE = \angle BGF$
（2）若把（1）中的已知“$GF\perp AB$”与结论“$\angle CDE=\angle BGF$”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由。
是真命题，理由：$\because DE // BC$，$\therefore \angle CDE = \angle BCD$，$\because \angle CDE = \angle BGF$，$\therefore \angle BCD = \angle BGF$，$\therefore CD // GF$，$\because CD \perp AB$，$\therefore GF \perp AB$

答案： （1）$\because DE // BC$，$\therefore \angle CDE = \angle BCD$，$\because CD \perp AB$，$GF \perp AB$，$\therefore CD // GF$，$\therefore \angle BGF = \angle BCD$，$\therefore \angle CDE = \angle BGF$；
（2）是真命题，理由：$\because DE // BC$，$\therefore \angle CDE = \angle BCD$，$\because \angle CDE = \angle BGF$，$\therefore \angle BCD = \angle BGF$，$\therefore CD // GF$，$\because CD \perp AB$，$\therefore GF \perp AB$.

19. 如图，已知射线$AM// BN$，连接$AB$，点$P$是射线$AM$上的一个动点（与点$A$不重合），$BC$平分$\angle ABP$交$AM$于点$C$，$BD$平分$\angle PBN$交$AM$于点$D$。
（1）若$\angle A = 60^{\circ}$，求$\angle CBD$的度数；60°
（2）数学兴趣小组探索后发现无论点$P$在射线$AM$上的什么位置，$\angle APB$与$\angle ADB$之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由。$\angle APB = 2\angle ADB$

答案： （1）$\because AM // BN$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABN = 120^{\circ}$，$\because BC$ 平分 $\angle ABP$ 交 $AM$ 于点 $C$，$BD$ 平分 $\angle PBN$ 交 $AM$ 于点 $D$，$\therefore \angle PBD = \frac{1}{2}\angle PBN$，$\angle CBP = \frac{1}{2}\angle ABP$，$\therefore \angle CBD = \angle PBD + \angle CBP = \frac{1}{2}(\angle PBN + \angle ABP) = \frac{1}{2}\angle ABN = 60^{\circ}$；
（2）$\angle APB = 2\angle ADB$，理由如下：
$\because AM // BN$，$\therefore \angle APB = \angle PBN$，$\angle ADB = \angle NBD$，$\because BD$ 平分 $\angle PBN$，$\therefore \angle PBN = 2\angle NBD$，$\therefore \angle APB = 2\angle ADB$.

20. （1）如图1，已知：$AB// CD$，请说明$\angle A+\angle APC+\angle C = 360^{\circ}$；
（2）如图2，已知：$AB// CD$，$EF\perp AB$于点$M$，$FG$交$CD$于点$N$。若$\angle 1 = 135^{\circ}$，则$\angle 2$的度数为多少？

答案：
（1）过点 $P$ 作 $PE // AB$，如图，

$\because AB // CD$，$\therefore AB // CD // PE$，$\therefore \angle A + \angle APE = 180^{\circ}$，$\angle C + \angle CPE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle APC + \angle C = \angle A + \angle APE + \angle CPE + \angle C = 360^{\circ}$；
（2）过点 $F$ 作 $FH // AB$，如图，

$\because EF \perp AB$ 于点 $M$，$\therefore \angle EMB = 90^{\circ}$，$\because AB // CD$，$FH // AB$，$\therefore AB // CD // FH$，$\therefore \angle MFH = \angle EMB = 90^{\circ}$，$\angle 2 = \angle NFH$，$\because \angle 1 = 135^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = \angle NFH = \angle 1 - \angle MFH = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$.