《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

17. 对有序数对$(m,n)$定义“$f$运算”：$f(m,n)=(am + bn,am - bn)$，其中$a$，$b$为常数。$f$运算的结果也是一个有序数对，比如当$a = 1$，$b = 1$时，$f(-3,2)=(-1,-5)$。
（1）当$a = 2$，$b = -1$时，$f(2,2)$等于$(2,6)$；
（2）$f(3,1)=(-3,-1)$，求$a$和$b$的值；$a=-\dfrac{2}{3}$，$b=-1$
（3）有序数对$(m,n)$，$f(m - 1,2n)=(m - 1,n)$，求$a$，$b$的值。（用$m$，$n$表示$a$和$b$）$a=\dfrac{m + n - 1}{2m - 2}$，$b=\dfrac{m - n - 1}{4n}$

答案：
(1) $ \because f ( m, n ) = ( a m + b n, a m - b n ) $，$ \therefore $ 当 $ a = 2 $，$ b = - 1 $ 时，$ f ( m, n ) = ( 2 m - n, 2 m + n ) $，$ \therefore $ 当 $ m = 2 $，$ n = 2 $ 时，$ 2 m - n = 2 \times 2 - 2 = 2 $，$ 2 m + n = 2 \times 2 + 2 = 6 $，$ f ( 2, 2 ) = ( 2, 6 ) $；
(2)由题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3, } \\ { 3 a - b = - 1, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = - \frac { 2 } { 3 }, } \\ { b = - 1 ; } \end{array} \right. $
(3)由题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a ( m - 1 ) + 2 b n = m - 1, } \\ { a ( m - 1 ) - 2 b n = n, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = \frac { m + n - 1 } { 2 m - 2 }, } \\ { b = \frac { m - n - 1 } { 4 n }. } \end{array} \right. $

18. 体育器材室有$A$，$B$两种型号的实心球，$1$只$A$型球与$1$只$B$型球的质量共$8$千克，$2$只$A$型球与$1$只$B$型球的质量共$13$千克。
（1）每只$A$型球、$B$型球的质量分别是多少千克？
（2）现有$A$型球、$B$型球的质量共$21$千克，则$A$型球，$B$型球各有多少只？

答案：
(1)设每只 $ A $ 型球的质量为 $ x $ 千克，每只 $ B $ 型球的质量为 $ y $ 千克，
依题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + y = 8, } \\ { 2 x + y = 13, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 5, } \\ { y = 3, } \end{array} \right. $ 所以每只 $ A $ 型球的质量为 5 千克，每只 $ B $ 型球的质量为 3 千克；
(2)设 $ A $ 型球有 $ m $ 只，$ B $ 型球有 $ n $ 只，由题意得 $ 5 m + 3 n = 21 $，$ \because m $，$ n $ 为正整数，$ \therefore m = 3 $，$ n = 2 $，所以 $ A $ 型球有 3 只，$ B $ 型球有 2 只。

19. 如图，已知数轴上的点$A$，$B$对应的数分别是$-5$和$1$。

（1）若$P$到点$A$，$B$的距离相等，求点$P$对应的数；$-2$
（2）动点$P$从点$A$出发，以$2$个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为$t$秒，问：是否存在某个时刻$t$，恰好使得$P$到点$A$的距离是点$P$到点$B$的距离的$2$倍？若存在，请求出$t$的值；若不存在，请说明理由；存在，$t$的值为2或6
（3）若动点$P$从点$A$出发向点$B$运动，同时，动点$Q$从点$B$出发向点$A$运动，经过$2$秒相遇；若动点$P$从点$A$出发向点$B$运动，同时，动点$Q$从点$B$出发与点$P$同向运动，经过$6$秒相遇，试求$P$点与$Q$点的运动速度（长度单位/秒）。$P$点的运动速度为2单位长度/秒，$Q$点的运动速度为1单位长度/秒

答案：
(1)点 $ A $，$ B $ 对应的数分别是 $ - 5 $ 和 1，设点 $ P $ 对应的数为 $ x $，则 $ P A = x + 5 $，$ P B = 1 - x $，$ \because P A = P B $，$ \therefore x + 5 = 1 - x $，解得 $ x = - 2 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 对应的数为 $ - 2 $；
(2)$ P $ 对应的数为 $ - 5 + 2 t $，$ \therefore P A = 2 t $，$ P B = | - 5 + 2 t - 1 | = | 2 t - 6 | $，$ \because P A = 2 P B $，$ \therefore 2 t = 2 | 2 t - 6 | $，当 $ t = 2 t - 6 $ 时，$ t = 6 $，当 $ t + 2 t - 6 = 0 $ 时，$ t = 2 $，所以当 $ t = 2 $ 或 6 时，恰好使得 $ P $ 到点 $ A $ 的距离是点 $ P $ 到点 $ B $ 的距离的 2 倍；
(3)设 $ P $ 点的运动速度为 $ m $ 单位长度/秒，$ Q $ 点的运动速度为 $ n $ 单位长度/秒，根据题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 2 n = 6, } \\ { 6 m - 6 n = 6, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 2, } \\ { n = 1, } \end{array} \right. $ 所以 $ P $ 点的运动速度为 2 单位长度/秒，$ Q $ 点的运动速度为 1 单位长度/秒。