《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

22. 【新定义】在平面直角坐标系中，对于任意两点 $ A(a,b) $，$ B(c,d) $，若点 $ T(x,y) $ 满足 $ x = \frac{a + c}{3} $，$ y = \frac{b + d}{3} $，那么称点 $ T $ 是点 $ A $ 和 $ B $ 的衍生点。例如：$ M(-2,5) $，$ N(8,-2) $，则点 $ T(2,1) $ 是点 $ M $ 和 $ N $ 的衍生点。
已知点 $ D(3,0) $，点 $ E(m,m + 2) $，点 $ T(x,y) $ 是点 $ D $ 和 $ E $ 的衍生点。
（1）若点 $ E(4,6) $，则点 $ T $ 的坐标为（______，______）；
（2）请直接写出点 $ T $ 的坐标；（用含 $ m $ 的式子表示）
（3）若直线 $ ET $ 交 $ x $ 轴于点 $ H $，当 $ \angle DHT = 90^{\circ} $ 时，求点 $ E $ 的坐标。

答案：

(1)$\frac{3 + 4}{3}$ = $\frac{7}{3}$，$\frac{0 + 6}{3}$ = 2，
∴点 T 的坐标为($\frac{7}{3}$,2)，故答案为($\frac{7}{3}$,2)；
(2)点 T 的横坐标为$\frac{3 + m}{3}$，点 T 的纵坐标为$\frac{m + 2}{3}$，
∴点 T 的坐标为($\frac{3 + m}{3}$,$\frac{m + 2}{3}$)；
(3)如图，
∵∠DHT = 90°，
∴点 E 与点 T 的横坐标相同，
∴$\frac{3 + m}{3}$ = m，解得 m = $\frac{3}{2}$，
∵m + 2 = $\frac{7}{2}$，
∴点 E 的坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{7}{2}$).

23. 如图，已知点 $ A(-2,3) $，点 $ B(4,3) $，点 $ C(-1,-3) $。
（1）求点 $ C $ 到 $ x $ 轴的距离；3
（2）求三角形 $ ABC $ 的面积；18
（3）点 $ P $ 在 $ y $ 轴上，当三角形 $ ABP $ 的面积为 $ 6 $ 时，求点 $ P $ 的坐标。(0,1)或(0,5)

答案：
(1)
∵C(-1,-3)，|-3| = 3，
∴点 C 到 x 轴的距离为 3；
(2)
∵A(-2,3)，B(4,3)，C(-1,-3)，
∴AB = 4 - (-2) = 6，点 C 到边 AB 的距离为 3 - (-3) = 6，
∴三角形 ABC 的面积为$\frac{1}{2}$×6×6 = 18；
(3)设点 P 的坐标为(0,y)，
∵三角形 ABP 的面积为 6，A(-2,3)，B(4,3)，
∴$\frac{1}{2}$×6×|y - 3| = 6，
∴|y - 3| = 2，
∴y = 1 或 y = 5，
∴点 P 的坐标为(0,1)或(0,5).

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(a,0) $，点 $ B(b,0) $，其中 $ a $，$ b $ 满足 $ |a + 1| + (b - 3)^2 = 0 $。
（1）填空：$ a = $______，$ b = $______；
（2）如果在第三象限内有一点 $ M(-2,m) $，请用含 $ m $ 的式子表示三角形 $ ABM $ 的面积；
（3）在（2）的条件下，当 $ m = -\frac{3}{2} $ 时，在 $ y $ 轴上有一点 $ P $，使得三角形 $ BMP $ 的面积与三角形 $ ABM $ 的面积相等，请求出点 $ P $ 的坐标。

答案：

(1)-1 3；
(2)如图，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N.

因为 A(-1,0)，B(3,0)，所以 AB = 3 - (-1) = 4，又因为点 M(-2,m)在第三象限，所以 MN = |m| = -m，所以 S△ABM = $\frac{1}{2}$AB·MN = $\frac{1}{2}$×4×(-m) = -2m；
(3)当 m = -$\frac{3}{2}$时，M(-2,-$\frac{3}{2}$)，所以 S△ABM = -2×(-$\frac{3}{2}$) = 3.
分两种情况讨论：
①如图，当点 P 在 y 轴正半轴上时，设点 P(0,k)，过点 P，M，B 作辅助线构造长方形 DMFE，则 S△BMP = S长方形DMFE - S△DPM - S△MFB - S△PEB = [3 - (-2)]×[k - (-$\frac{3}{2}$)] - $\frac{1}{2}$×2×[k - (-$\frac{3}{2}$)] - $\frac{1}{2}$×[3 - (-2)]×$\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$×3k = $\frac{5}{2}$k + $\frac{9}{4}$.
因为 S△BMP = S△ABM，所以$\frac{5}{2}$k + $\frac{9}{4}$ = 3，解得 k = 0.3，所以点 P 的坐标为(0,0.3).

②如图，当点 P 在 y 轴负半轴上时，设点 P(0,n)，过点 P，M，B 作辅助线构造长方形 DEFB，则 S△BMP = S长方形DEFB - S△DMB - S△MEP - S△PFB = -n[3 - (-2)] - $\frac{1}{2}$×[3 - (-2)]×$\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$×2×(-$\frac{3}{2}$ - n) - $\frac{1}{2}$×3×(-n) = -$\frac{5}{2}$n - $\frac{9}{4}$.
因为 S△BMP = S△ABM，所以 -$\frac{5}{2}$n - $\frac{9}{4}$ = 3，解得 n = -2.1，所以点 P 的坐标为(0,-2.1)，综上，点 P 的坐标为(0,0.3)或(0,-2.1).