《2025年暑假大串联七年级数学人教版》

25. 【情境背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，$A$，$B$是数轴上的两点（点$B$在点$A$的右侧），点$A$表示的数为$-15$，$A$，$B$两点的距离$AB$是点$A$到原点$O$的距离$OA$的4倍，即$AB=4OA$.
(1)在情境背景下，数轴上点$B$表示的数是45.点$C$为数轴上的动点，当$AC+BC=72$时.可知点$C$表示的数为$-21$或$51$；
(2)动点$P$，$Q$分别从点$B$和$A$同时出发向左匀速运动，点$P$，$Q$的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度.
①当点$P$与点$Q$之间的距离为4个单位长度时，求此时点$P$和点$Q$在数轴上所表示的数；
②设运动时间为$t$，点$M$为数轴上$P$，$Q$两点之间的动点，且点$M$始终满足$PM:MQ=1:3$，点$M$在运动到点$O$的过程中，$\frac{3}{2}PQ-OM$的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由.

答案：
(1) $\because$ 点 A 表示的数为 -15, $AB = 4OA, \therefore AB = 60, \because$ 点 O 为原点, 点 B 在点 A 的右侧, $\therefore$ 点 B 表示的数是 $-15 + 15×4 = 45, \because AC + BC = 72$,
$\therefore C$ 在 A, B 的两侧, $\because (72 - 60)÷2 = 6, \therefore$ 点 C 在点 A 左侧时, 点 C 表示的数是 $-15 - 6 = -21$; 点 C 在点 B 右侧时, 点 C 表示的数是 $45 + 6 = 51$; 综上所述, 点 C 表示的数为 -21 或 51, 故答案为 45, -21 或 51;
(2) ① 设当点 P 与点 Q 之间的距离为 4 个单位长度时, 运动时间为 $x$ 秒, 相遇前相距 4 个单位长度, 依题意有 $45 - 7x - (-15 - 3x) = 4$, 解得 $x = 14$, 则点 P 表示的数为 $45 - 7×14 = -53$, 点 Q 表示的数为 $-15 - 3×14 = -57$, 相遇后相距 4 个单位长度, 依题意有 $-15 - 3x - (45 - 7x) = 4$, 解得 $x = 16$, 则点 P 表示的数为 $45 - 7×16 = -67$, 点 Q 表示的数为 $-15 - 3×16 = -63$;
② 设点 M 表示的数为 $y$, 依题意有 $y - (-15 - 3t) = 3(45 - 7t - y)$, 解得 $y = 30 - 6t, \because PQ = 45 - 7t - (-15 - 3t) = 60 - 4t, \therefore \frac{3}{2}PQ - OM = \frac{3}{2}(60 - 4t) - (30 - 6t) = 90 - 6t - 30 + 6t = 60$,
$\therefore \frac{3}{2}PQ - OM$ 的值不发生变化, 其值为 60.