《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

13. 某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间的合格标准,为此随机调查了 100 名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格如下所示.

(1)画扇形图描述数据时,$1.5≤x＜2.5$这组数据对应的扇形圆心角是108°。
(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数为2.7小时；
(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.
合格标准可以定为2小时。理由：因为1.5≤x＜2.5这一组的组中值为2，且该组人数最多（30人），从统计量众数的角度看，大部分学生的劳动时间接近2小时，定为2小时作为合格标准，大部分学生经过努力可以达到。

答案： （1）
首先，计算$1.5\leq x\lt2.5$这组数据所占的比例：
已知总人数$n = 100$，$1.5\leq x\lt2.5$这组的人数$m = 30$，则其比例$p=\frac{30}{100}=0.3$。
因为扇形圆心角$\theta = 360^{\circ}× p$（$p$为该组数据占总体的比例）。
所以$\theta = 360^{\circ}×0.3 = 108^{\circ}$。
 （2）
解：根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{k}f_{k}}{n}$（其中$x_{i}$为组中值，$f_{i}$为频数，$n=\sum_{i = 1}^{k}f_{i}$）。
这里$x_{1}=1$，$f_{1}=21$；$x_{2}=2$，$f_{2}=30$；$x_{3}=3$，$f_{3}=19$；$x_{4}=4$，$f_{4}=18$；$x_{5}=5$，$f_{5}=12$，$n = 100$。
则$\overline{x}=\frac{1×21 + 2×30+3×19+4×18+5×12}{100}$
先计算分子：$1×21+2×30 + 3×19+4×18+5×12=21 + 60+57+72+60$
$21+60+57+72+60=(21 + 60)+(57+72)+60=81+129+60=270$。
所以$\overline{x}=\frac{270}{100}=2.7$（小时）。
 （3）
解：合格标准可以定为$2$小时。
理由：因为$1.5\leq x\lt2.5$这一组的组中值为$2$，且$1.5\leq x\lt2.5$这一组的人数最多（$30$人），从统计量众数的角度看（虽然这里没有直接求众数，但组中值$2$所在组人数最多），大部分学生的劳动时间接近$2$小时，定为$2$小时作为合格标准， 大部分学生经过努力可以达到。
综上，（1）$108^{\circ}$；（2）$2.7$小时；（3）合格标准定为$2$小时，理由见上述步骤。