《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

17. 给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称；正方形、矩形(答案不唯一)
(2)如图,将$\triangle ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60^{\circ}得到\triangle DBE$,连接AD,DC,CE,已知$\angle DCB= 30^{\circ}$.
①求证：$\triangle BCE$是等边三角形；
证明：$ \because \triangle A B C \cong \triangle D B E $, $ \therefore B C = B E $.$ \because \angle C B E = 60 ^ { \circ } $,$ \therefore \triangle B C E $ 是等边三角形;
②求证：$DC^{2}+BC^{2}= AC^{2}$,即四边形ABCD是勾股四边形.
证明：$ \because \triangle A B C \cong \triangle D B E $,$ \therefore B E = B C $, $ A C = E D $.$ \therefore \triangle B C E $ 为等边三角形.$ \therefore B C = C E $, $ \angle B C E = 60 ^ { \circ } $.$ \because \angle D C B = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle D C E = 90 ^ { \circ } $.在 $ \mathrm { Rt } \triangle D C E $ 中, $ D C ^ { 2 } + C E ^ { 2 } = D E ^ { 2 } $,$ \therefore D C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $.

答案：
(1) 正方形、矩形. (答案不唯一)
(2) ① $ \because \triangle A B C \cong \triangle D B E $, $ \therefore B C = B E $.
$ \because \angle C B E = 60 ^ { \circ } $,
$ \therefore \triangle B C E $ 是等边三角形;
② $ \because \triangle A B C \cong \triangle D B E $,
$ \therefore B E = B C $, $ A C = E D $.
$ \therefore \triangle B C E $ 为等边三角形.
$ \therefore B C = C E $, $ \angle B C E = 60 ^ { \circ } $.
$ \because \angle D C B = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle D C E = 90 ^ { \circ } $.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle D C E $ 中, $ D C ^ { 2 } + C E ^ { 2 } = D E ^ { 2 } $,
$ \therefore D C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $.

18. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle B= 60^{\circ}$,$BC= 2$.O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O逆时针旋转,交AB于点D.过点C作$CE// AB$,且交直线l于点E,设直线l的旋转角为$\alpha$.
(1)①当$\angle \alpha =$30°时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为1；
②当$\angle \alpha =$60°时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为1.5；
(2)当$\angle \alpha =90^{\circ}$时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.

答案：
(1) ① 30 1 ② 60 1.5
(2) 当 $ \angle \alpha = 90 ^ { \circ } $ 时, 四边形 $ E D B C $ 是菱形, 理由略.