《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

17. 观察下列各式：
$\sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}= 1+\frac {1}{1}-\frac {1}{2}= 1\frac {1}{2}$；
$\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}= 1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}= 1\frac {1}{6}$；
$\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}= 1+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}= 1\frac {1}{12}$.
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想：
(1) $\sqrt {1+\frac {1}{4^{2}}+\frac {1}{5^{2}}}= $$1 \frac{1}{20}$；
(2) 请你按照上面每个等式反映的规律,写出用 $n$ ($n$ 为正整数) 表示的等式：$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)}$；
(3) 利用上述规律计算：$\sqrt {\frac {50}{49}+\frac {1}{64}}$. (仿照上式写出过程)
$\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}}} = 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = 1 \frac{1}{56}$

答案：
(1) $ 1 \frac{1}{20} $
(2) $ \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)} $
(3) $ \sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}}} = 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = 1 \frac{1}{56} $