《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

15. 如图,是一种长$30cm$,宽$20cm$的矩形瓷砖的示意图,$E$,$F$,$G$,$H$分别是矩形各边的中点,阴影部分为淡黄色,中间部分为白色. 现有一面长$4.2m$,宽$2.8m$的墙壁准备贴瓷砖,这面墙壁最少要贴这种瓷砖196块？全部贴满瓷砖后,这面墙壁最多会出现365个面积相等的菱形？其中淡黄色的菱形有169个？

答案： 这面墙壁最少要贴这种瓷砖 196 块；全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现 365 个面积相等的菱形，其中淡黄色的菱形有 169 个。

16. 在$□ ABCD$中,过点$D作DE⊥AB于点E$,点$F在边CD$上,$DF= BE$,连接$AF$,$BF$.
(1) 求证：四边形$BFDE$是矩形；
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。又因为$DF = BE$，所以四边形$BFDE$是平行四边形。因为$DE⊥AB$，即$\angle DEB = 90^{\circ}$，所以平行四边形$BFDE$是矩形。
(2) 若$CF= 3,BF= 4,DF= 5$,求证：$AF平分∠DAB$.
证明：因为四边形$BFDE$是矩形，所以$\angle BFC = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle BFC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{CF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 5$。又因为$DF = 5$，所以$AD = DF$，所以$\angle DAF=\angle DFA$。因为$AB// CD$，所以$\angle DFA=\angle FAB$，所以$\angle DAF=\angle FAB$，即$AF$平分$\angle DAB$。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
又因为$DF = BE$，所以四边形$BFDE$是平行四边形。
因为$DE⊥AB$，即$\angle DEB = 90^{\circ}$，所以平行四边形$BFDE$是矩形。
(2) 因为四边形$BFDE$是矩形，所以$\angle BFC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BFC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{CF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 5$。
又因为$DF = 5$，所以$AD = DF$，所以$\angle DAF=\angle DFA$。
因为$AB// CD$，所以$\angle DFA=\angle FAB$，所以$\angle DAF=\angle FAB$，即$AF$平分$\angle DAB$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。