《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

12. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F分别是AD$,$BC$上的点,且$DE= BF,AC⊥EF$. 求证：四边形$AFCE$是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$。
∵ $DE = BF$，∴ $AE = CF$。∵ $AE // CF$，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形。
∵ $AC \perp EF$，∴ 四边形 AFCE 是菱形。

答案：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$。
∵ $DE = BF$，
∴ $AE = CF$。
∵ $AE // CF$，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形。
∵ $AC \perp EF$，
∴ 四边形 AFCE 是菱形。

13. 如图,四边形$ABCD$是矩形,$E是BC$边上一点,点$F在BC$的延长线上,且$CF= BE$. 求证：四边形$AEFD$是平行四边形.

证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ $AD // BC$ 且 $AD = BC$。∵ E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的延长线上，且 $CF = BE$，∴ $BC = EF = AD$。又∵ $AD // EF$，∴ 四边形 AEFD 是平行四边形。

答案：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ $AD // BC$ 且 $AD = BC$。
∵ E 是 BC 边上一点，
点 F 在 BC 的延长线上，
且 $CF = BE$，
∴ $BC = EF = AD$。
又
∵ $AD // EF$，
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形。

14. 如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且$AB= 13,AC= 24,BD= 10$. 求证：$□ ABCD$是菱形.

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 24$，$BD = 10$，$\therefore OA=\frac{1}{2}AC = 12$，$OB=\frac{1}{2}BD = 5$。在$\triangle AOB$中，$OA^{2}+OB^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25 = 169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，$\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle AOB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$，即$AC\perp BD$。又$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

答案： 【解析】：
本题可先根据平行四边形的性质求出$OA$、$OB$的长度，再利用勾股定理的逆定理证明$AC\perp BD$，最后根据菱形的判定定理证明平行四边形$ABCD$是菱形。
### 步骤一：根据平行四边形的性质求$OA$、$OB$的长度
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
因为$AC = 24$，$BD = 10$，所以$OA=\frac{1}{2}×24 = 12$，$OB=\frac{1}{2}×10 = 5$。
### 步骤二：利用勾股定理的逆定理证明$AC\perp BD$
在$\triangle AOB$中，$OA = 12$，$OB = 5$，$AB = 13$。
计算$OA^{2}+OB^{2}$的值为：$12^{2}+5^{2}=144 + 25 = 169$。
而$AB^{2}=13^{2}=169$，即$OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，其中$c$为最长边。
所以$\triangle AOB$是直角三角形，且$\angle AOB = 90^{\circ}$，即$AC\perp BD$。
### 步骤三：根据菱形的判定定理证明平行四边形$ABCD$是菱形
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC\perp BD$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 24$，$BD = 10$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC = 12$，$OB=\frac{1}{2}BD = 5$。
在$\triangle AOB$中，$OA^{2}+OB^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25 = 169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，
$\therefore \triangle AOB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$，即$AC\perp BD$。
又$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。