《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

12. 如图,点 $B$,$E$ 分别在 $AC$,$DF$ 上,$AF$ 分别交 $BD$,$CE$ 于点 $M$,$N$,$∠A = ∠F$,$∠1 = ∠2$.
(1) 求证：四边形 $BCED$ 是平行四边形；
证明：$\because \angle A = \angle F$，$\therefore$ $DE // BC$．
$\because \angle 1 = \angle 2$，且 $\angle 1 =$ $\angle DMF$，
$\therefore \angle DMF = \angle 2$．
$\therefore$ $DB // EC$，
则四边形 $BCED$ 是平行四边形．
(2) 已知 $DE = 2$,连接 $BN$,若 $BN$ 平分 $∠DBC$,求 $CN$ 的长.
解：$\because BN$ 平分 $\angle DBC$，
$\therefore \angle DBN = \angle CBN$．
$\because EC // DB$，$\therefore \angle CNB =$ $\angle DBN$．
$\therefore \angle CNB = \angle CBN$．
$\therefore CN =$ $BC$$= DE = 2$．
故 $CN$ 的长为$2$．

答案：
(1) $\because \angle A = \angle F$，$\therefore DE // BC$．
$\because \angle 1 = \angle 2$，且 $\angle 1 = \angle DMF$，
$\therefore \angle DMF = \angle 2$．
$\therefore DB // EC$，
则四边形 $BCED$ 是平行四边形．
(2) $\because BN$ 平分 $\angle DBC$，
$\therefore \angle DBN = \angle CBN$．
$\because EC // DB$，$\therefore \angle CNB = \angle DBN$．
$\therefore \angle CNB = \angle CBN$．
$\therefore CN = BC = DE = 2$．

13. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$BE // DF$ 且分别交对角线 $AC$ 于点 $E$,$F$.
(1) 求证：$△ABE ≌ △CDF$；
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$AB // CD$．$\therefore \angle BAE = \angle DCF$．
$\because BE // DF$，$\therefore \angle BEC = \angle DFA$．
$\therefore 180^{\circ} - \angle BEC = 180^{\circ} - \angle DFA$．
$\therefore \angle AEB = \angle CFD$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDF$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle AEB = \angle CFD }, \\ { \angle BAE = \angle DCF }, \\ { AB = CD }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABE \cong △CDF$(AAS)．
(2) 当四边形 $ABCD$ 分别是矩形和菱形时,请分别说出四边形 $BFDE$ 的形状. (无需说明理由)
当四边形 $ABCD$ 是矩形时，四边形 $BFDE$ 是平行四边形；当四边形 $ABCD$ 是菱形时，四边形 $BFDE$ 是菱形．

答案：
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$AB // CD$．$\therefore \angle BAE = \angle DCF$．
$\because BE // DF$，$\therefore \angle BEC = \angle DFA$．
$\therefore 180^{\circ} - \angle BEC = 180^{\circ} - \angle DFA$．
$\therefore \angle AEB = \angle CFD$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDF$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle AEB = \angle CFD }, \\ { \angle BAE = \angle DCF }, \\ { AB = CD }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABE \cong CDF ( AAS )$．
(2) 当四边形 $ABCD$ 是矩形时，四边形 $BFDE$ 是平行四边形；当四边形 $ABCD$ 是菱形时，四边形 $BFDE$ 是菱形．