《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

14. 如图,CE是$\triangle ABC外角\angle ACD$的平分线,$AF// CD$交CE于点F,$FG// AC$交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形.

证明：因为$AF// CD$，$FG// AC$，所以四边形$ACGF$是平行四边形。
因为$CE$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle FCG$。
又因为$AF// CD$，所以$\angle AFC=\angle FCG$，则$\angle ACF = \angle AFC$，所以$AC =$$AF$。
所以平行四边形$ACGF$是菱形。

答案： 【解析】：
- 首先证明四边形$ACGF$是平行四边形：
已知$AF// CD$，$FG// AC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$ACGF$是平行四边形。
然后证明平行四边形$ACGF$是菱形：
因为$CE$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle FCG$。
又因为$AF// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle AFC=\angle FCG$。
所以$\angle ACF = \angle AFC$。
根据“等角对等边”，则$AC = AF$。
因为平行四边形$ACGF$的一组邻边$AC$与$AF$相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$ACGF$是菱形。
【答案】：
因为$AF// CD$，$FG// AC$，所以四边形$ACGF$是平行四边形。
因为$CE$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle FCG$。
又因为$AF// CD$，所以$\angle AFC=\angle FCG$，则$\angle ACF = \angle AFC$，所以$AC = AF$。
所以平行四边形$ACGF$是菱形。

15. 如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF,点E和点F均在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上,且$\triangle CDG的周长为10+\sqrt{10}$.连接EG,请直接写出线段EG的长. EG=$\sqrt{5}$

答案：

(1) 如图, 正方形 $ A B E F $ 即为所求.
(2) 如图, $ \triangle C D G $ 即为所求. $ E G = \sqrt { 5 } $.

16. 工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：
先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使$AB= CD$,$EF= GH$；
(1)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是平行四边形.根据的数学原理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是矩形.根据的数学原理有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(3)若要制作一个正方形窗框,应对以上步骤进行怎样的调整？
在步骤（2）的基础上，调整窗框边框，使邻边相等（因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形）。

答案：

(1) 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(2) 矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3）解：在步骤（2）的基础上，调整窗框边框，使邻边相等（因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形）。