《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

19. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙之处各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示的位置摆放,其中$∠DAB = 90^{\circ}$,求证：$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
证明：连接DB,过点D作BC边上的高DF,则$DF = EC = b - a$.
$\because S_{四边形ADCB}= S_{△ACD}+S_{△ABC}= \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,
又$\because S_{四边形ADCB}= S_{△ADB}+S_{△DCB}= \frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab= \frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$.
$\therefore a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图②所示的位置摆放,其中$∠DAB = 90^{\circ}$.求证：$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

证明：如图，连接 $BD$，
过点 $B$ 作 $DE$ 边上的高 $BF$，
则 $BF = b - a$。
$\because S _ { \text { 五边形 } ACBED } = S _ { \triangle ACB } + S _ { \triangle ABE } + S _ { \triangle ADE } = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ab$，
又 $\because S _ { \text { 五边形 } ACBED } = S _ { \triangle ACB } + S _ { \triangle ABD } + S _ { \triangle BDE } = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ( b - a )$，
$\therefore \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ab = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ( b - a )$。
$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$。

答案：
如图，连接 $BD$，

过点 $B$ 作 $DE$ 边上的高 $BF$，
则 $BF = b - a$。
$\because S _ { \text { 五边形 } ACBED } = S _ { \triangle ACB } + S _ { \triangle ABE } + S _ { \triangle ADE } = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ab$，
又 $\because S _ { \text { 五边形 } ACBED } = S _ { \triangle ACB } + S _ { \triangle ABD } + S _ { \triangle BDE } = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ( b - a )$，
$\therefore \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ab = \frac { 1 } { 2 } ab + \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ( b - a )$。
$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$。