《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

15. 某公司有甲种原料$260kg$,乙种原料$270kg$,计划用这两种原料生产$A$,$B两种产品共40$件. 生产每件$A种产品需甲种原料8kg$,乙种原料$5kg$,可获利润$900$元；生产每件$B种产品需甲种原料4kg$,乙种原料$9kg$,可获利润$1100$元. 设安排生产$A种产品x$件.
(1)完成下表；（注：根据参考答案，表格中应填入的内容为8x和9(40 - x)）
(2)安排生产$A$,$B$两种产品的件数有几种方案？试说明理由；
解：由题意，得$ \begin{cases} 8x + 4(40 - x) \leq 260, \\ 5x + 9(40 - x) \leq 270. \end{cases} $解得22.5 ≤ x ≤ 25。∵x 是正整数，∴x = 23或24或25。∴共有三种生产方案：方案一：安排生产 A 产品23件，B 产品17件；方案二：安排生产 A 产品24件，B 产品16件；方案三：安排生产 A 产品25件，B 产品15件。
(3)设生产这$40件产品共可获利润y$元,将$y表示为x$的函数,并求出最大利润.
解：$ y $=900x + 1100(40 - x)=-200x + 44000。∵$ k $=-200＜ 0，∴y 随 x 的增大而减小。∴当 x = 23时，y 取最大值，$ y $=-200×23 + 44000=39400。答：生产这批产品可获利的最大利润为39400元。

答案：
(1)8x 9(40 - x)
(2)由题意，
得$ \begin{cases} 8x + 4(40 - x) \leq 260, \\ 5x + 9(40 - x) \leq 270. \end{cases} $
解得$ 22.5 \leq x \leq 25 $。
∵x 是正整数，
∴x = 23 或 24 或 25。
∴共有三种生产方案：
方案一：安排生产 A 产品 23 件，B 产品 17 件。
方案二：安排生产 A 产品 24 件，B 产品 16 件。
方案三：安排生产 A 产品 25 件，B 产品 15 件。
(3)$ y = 900x + 1100(40 - x) = -200x + 44000 $。
∵$ k = -200 ＜ 0 $，
∴y 随 x 的增大而减小。
∴当 x = 23 时，y 取最大值，
$ y = -200 × 23 + 44000 = 39400 $。
答：生产这批产品可获利的最大利润为 39400 元。

16. 【综合与实践】某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤,小组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进行调试,请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得：$(m_{0}+m)\cdot l= M\cdot (a+y)$,其中秤盘质量为$m_{0}g$,重物质量为$mg$,秤砣质量为$Mg$,秤纽与秤盘的水平距离为$lcm$,秤纽与零刻度线的水平距离为$acm$,秤砣与零刻度线的水平距离为$ycm$.
【方案设计】目标：设计简易杆秤. 设定$m_{0}= 10$,$M= 50$,最大可称重物质量为$1000g$,零刻度线与末刻度线的距离定为$50cm$.
任务一：确定$l和a$的值.
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻度线时,杆秤平衡,请列出关于$l$,$a$的方程；
10l = 50a(或l = 5a)
(2)当秤盘放入质量为$1000g$的重物,秤砣从零刻度线移至末刻度线时,杆秤平衡,请列出关于$l$,$a$的方程；
(10 + 1000)l = 50(a + 50)(或101l - 5a = 250)
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出$l和a$的值；
l = 2.5，a = 0.5
任务二：确定刻度线位置.
(4)根据任务一,求$y关于m$的函数解析式；
y = \frac{1}{20}m
(5)从零刻度线开始,每隔$100g$在秤杆上找到对应刻度线,请直接写出相邻刻度线间的距离.
5 cm

答案：
(1)由题意得 m = 0，y = 0。
∵$ m_0 = 10 $，M = 50，
∴10l = 50a。
∴l = 5a。
(2)由题意得 m = 1000，y = 50，
∴$ (10 + 1000)l = 50(a + 50) $，
∴101l - 5a = 250。
(3)由
(1)
(2)可得$ \begin{cases} l = 5a, \\ 101l - 5a = 250. \end{cases} $
解得$ \begin{cases} a = 0.5, \\ l = 2.5. \end{cases} $
(4)由
(3)可知，
l = 2.5，a = 0.5，
∴$ 2.5(10 + m) = 50(0.5 + y) $。
∴$ y = \frac{1}{20}m $。
(5)相邻刻度线间的距离为 5 cm。