《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

19. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图①,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点. 求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图②,P是四边形ABCD内一点,且满足$PA = PB$,$PC = PD$,$\angle APB = \angle CPD$,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想；
猜想：中点四边形EFGH的形状是菱形
(3)若改变(2)中的条件,使$\angle APB = \angle CPD = 90^{\circ}$,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.
中点四边形EFGH的形状是正方形

答案：

(1) 如图，连接 $BD$，$ \because $ 点 $E$，$H$ 分别为边 $AB$，$AD$ 的中点，$ \therefore EH // BD$，$EH = \frac { 1 } { 2 }BD$。$ \because $ 点 $F$，$G$ 分别为 $BC$，$DC$ 的中点，$ \therefore FG // BD$，$FG = \frac { 1 } { 2 }BD$。$ \therefore EH = FG$，$EH // FG$。$ \therefore $ 中点四边形 $EFGH$ 是平行四边形。
(2) 四边形 $EFGH$ 是菱形，理由略。
(3) 四边形 $EFGH$ 是正方形，证明略。