《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

15. 有这样一类题目：化简 $\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}$. 如果你能找到两个数 $m$,$n$,使 $m^{2}+n^{2}= a$,并且 $mn= \sqrt {b}$,那么将 $a\pm 2\sqrt {b}$ 变成 $m^{2}+n^{2}\pm 2mn= (m\pm n)^{2}$,再开方使 $\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}$ 化简.
例如：化简 $\sqrt {3\pm 2\sqrt {2}}$.
因为 $\sqrt {3\pm 2\sqrt {2}}= \sqrt {1+2\pm 2\sqrt {2}}= \sqrt {1^{2}+(\sqrt {2})^{2}\pm 2\sqrt {2}}= \sqrt {(1\pm \sqrt {2})^{2}}$,
所以 $\sqrt {3\pm 2\sqrt {2}}= \sqrt {(1\pm \sqrt {2})^{2}}= \sqrt {2}\pm 1$.
仿照上例化简下列各式：
(1) $\sqrt {9+4\sqrt {5}}$=$2 + \sqrt{5}$；
(2) $\sqrt {18-2\sqrt {77}}$=$\sqrt{11} - \sqrt{7}$.

答案：
(1) $ \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}} $
$ = \sqrt{4 + 5 + 4 \sqrt{5}} $
$ = \sqrt{2^{2} + (\sqrt{5})^{2} + 4 \sqrt{5}} $
$ = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^{2}} $
$ = 2 + \sqrt{5} $
(2) $ \sqrt{18 - 2 \sqrt{77}} $
$ = \sqrt{11 + 7 - 2 \sqrt{77}} $
$ = \sqrt{(\sqrt{11})^{2} + (\sqrt{7})^{2} - 2 \sqrt{77}} $
$ = \sqrt{(\sqrt{11} - \sqrt{7})^{2}} $
$ = \sqrt{11} - \sqrt{7} $

16. 图①、图②都是 $4×4$ 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为 1. 在每个网格中标注了 5 个格点,按下列要求画图：
(1) 在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有 3 个；
(2) 在图②中,以格点为顶点,画一个正方形,使其内部已标注的格点只有 3 个,且边长为无理数.

答案：