《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

16. 如图①,将一组对边平行的纸条沿 $EF$ 折叠,点 $A$,$B$ 分别落在 $A'$,$B'$ 处,线段 $FB'$ 与 $AD$ 交于点 $M$.
(1) 试判断 $△MEF$ 的形状,并证明你的结论；
(2) 如图②,将纸条的另一部分 $CFMD$ 沿 $MN$ 折叠,点 $C$,$D$ 分别落在 $C'$,$D'$ 处,且使 $MD'$ 经过点 $F$,试判断四边形 $MNFE$ 的形状,并证明你的结论；
(3) 当 $∠BFE = $______60度时,四边形 $MNFE$ 是菱形.

答案： 1. （1）
解：$\triangle MEF$是等腰三角形。
证明：因为$AD// BC$，所以$\angle MEF=\angle EFB$。
由折叠可知$\angle MFE = \angle EFB$，所以$\angle MEF=\angle MFE$。
根据等角对等边，可得$ME = MF$，所以$\triangle MEF$是等腰三角形。
2. （2）
解：四边形$MNFE$是平行四边形。
证明：因为$AD// BC$，所以$\angle EMF=\angle MFN$。
由（1）知$ME = MF$，同理可得$MF = NF$，所以$ME = NF$。
又因为$ME// NF$（$AD// BC$），一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$MNFE$是平行四边形。
3. （3）
答案：$60$。
当$\angle BFE = 60^{\circ}$时，由（1）知$\angle MEF=\angle MFE = 60^{\circ}$，所以$\triangle MEF$是等边三角形，则$ME = EF$。
又因为四边形$MNFE$是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以当$\angle BFE = 60^{\circ}$时，四边形$MNFE$是菱形。

17. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$∠A = 72^{\circ}$. 请设计三种不同的分法,将菱形 $ABCD$ 分割成四个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形.
分法一：连接 $BD$，取 $AB$，$AD$，$BC$，$CD$ 的中点 $E$，$F$，$G$，$H$，连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$。
分法二：以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画弧交 $AD$ 于 $E$，以 $C$ 为圆心，$CB$ 长为半径画弧交 $CD$ 于 $F$，连接 $BE$，$BF$。
分法三：作 $\angle ABC$ 的平分线 $BE$ 交 $AD$ 于 $E$，作 $\angle ADC$ 的平分线 $DF$ 交 $BC$ 于 $F$，连接 $EF$。

答案： 【解析】：
分法一：连接 $BD$，取 $AB$，$AD$，$BC$，$CD$ 的中点 $E$，$F$，$G$，$H$，连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$。
因为菱形 $ABCD$，$\angle A = 72^{\circ}$，则 $\angle ABD=\angle ADB = 54^{\circ}$，$\angle CBD=\angle CDB = 54^{\circ}$。
$AE = EB$，$AF = FD$，$BG = GC$，$CH = HD$，根据等腰三角形判定（等角对等边，等边对等角）可得分割后的四个三角形都是等腰三角形。
分法二：以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画弧交 $AD$ 于 $E$，以 $C$ 为圆心，$CB$ 长为半径画弧交 $CD$ 于 $F$，连接 $BE$，$BF$。
因为菱形 $ABCD$，$AB = AD$，$\angle A=72^{\circ}$，$AE = AB$，所以 $\triangle ABE$ 是等腰三角形，同理 $\triangle CBF$ 是等腰三角形，再根据菱形性质可证另外两个三角形也是等腰三角形。
分法三：作 $\angle ABC$ 的平分线 $BE$ 交 $AD$ 于 $E$，作 $\angle ADC$ 的平分线 $DF$ 交 $BC$ 于 $F$，连接 $EF$。
因为菱形 $ABCD$，$\angle A = 72^{\circ}$，则 $\angle ABC=\angle ADC = 108^{\circ}$，$BE$ 平分 $\angle ABC$，$DF$ 平分 $\angle ADC$，根据角度计算和等腰三角形判定可得分割后的四个三角形都是等腰三角形。
【答案】：
分法一：连接 $BD$，取 $AB$，$AD$，$BC$，$CD$ 的中点 $E$，$F$，$G$，$H$，连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$。
分法二：以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画弧交 $AD$ 于 $E$，以 $C$ 为圆心，$CB$ 长为半径画弧交 $CD$ 于 $F$，连接 $BE$，$BF$。
分法三：作 $\angle ABC$ 的平分线 $BE$ 交 $AD$ 于 $E$，作 $\angle ADC$ 的平分线 $DF$ 交 $BC$ 于 $F$，连接 $EF$。