《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级人教版》

12. 如图,O是矩形ABCD对角线的交点,$DE// AC$,$CE// BD$,试说明OE与CD互相垂直平分.

$ \because $ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$ \therefore AC = BD$，$OA = OC = OD = OB$。又 $ \because DE // AC$，$CE // BD$，$ \therefore $ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。又 $ \because OC = OD$，$ \therefore $ 四边形 $OCED$ 是菱形。$ \therefore OE$ 与 $CD$ 互相垂直平分。

答案： $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$ \therefore AC = BD$，$OA = OC = OD = OB$。又 $ \because DE // AC$，$CE // BD$，$ \therefore $ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。又 $ \because OC = OD$，$ \therefore $ 四边形 $OCED$ 是菱形。$ \therefore OE$ 与 $CD$ 互相垂直平分。

13. 如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,AD,CE是高,连接DE.
(1)求证：$BC = 2DE$；
证明：$ \because AB = AC$，$AD \perp BC$，$ \therefore BD = CD$。$ \because CE \perp AB$，$ \therefore \angle BEC = 90^{\circ}$，$ \therefore DE = BD = CD$。$ \therefore BC = 2DE$。
(2)若$\angle BAC = 50^{\circ}$,求$\angle ADE$的度数.
$40^{\circ}$

答案：
(1) $ \because AB = AC$，$AD \perp BC$，$ \therefore BD = CD$。$ \because CE \perp AB$，$ \therefore \angle BEC = 90^{\circ}$，$ \therefore DE = BD = CD$。$ \therefore BC = 2DE$。
(2) $ \angle ADE = 40^{\circ}$

14. 如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD交于点O,M,N分别是AB,AD的中点.
(1)求证：四边形AMON是平行四边形；
证明：根据平行四边形的性质得到 $AO = OC$，$BO = OD$，$AB // CD$，$AD // BC$，由三角形的中位线的性质得到 $MO // BC$，$NO // CD$，$ \therefore MO // AN$，$NO // AM$。$ \therefore $ 四边形 $AMON$ 是平行四边形。
(2)若$AC = 6$,$BD = 4$,$\angle AOB = 90^{\circ}$,求四边形AMON的周长.$2\sqrt{13}$

答案：
(1) 根据平行四边形的性质得到 $AO = OC$，$BO = OD$，$AB // CD$，$AD // BC$，由三角形的中位线的性质得到 $MO // BC$，$NO // CD$，$ \therefore MO // AN$，$NO // AM$。$ \therefore $ 四边形 $AMON$ 是平行四边形。
(2) $2\sqrt{13}$