《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

1.如图,一只蚂蚁从长、宽都是3cm,高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长是()

A.$(3\sqrt {2}+8)cm$
B.10cm
C.$\sqrt {130}cm$
D.14cm

答案： B

2.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 6,$$BC= 8$,AD是$∠BAC$的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则$PC+PQ$的最小值是()

A.$\frac {12}{5}$
B.4
C.$\frac {24}{5}$
D.5

答案：
C　解析:如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ=PM.这时PC+PQ有最小值，即CM的长度.

∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,
∴AB= $\sqrt{AC²+BC²}$ = $\sqrt{6²+8²}$ =10.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·CM=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴CM=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，即PC+PQ的最小值为$\frac{24}{5}$.故选C.

3.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是____尺.

答案： 25

4.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器右侧内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器左侧外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是____.

答案：
13cm　解析:如图,作A关于EF的对称点A',连接A'B,则A'B即为最短路程,A'B=$\sqrt{A'D²+BD²}$=$\sqrt{5²+12²}$=13(cm).

5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5dm,3dm和1dm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只春蚕,想到B点去吃可口的桑叶.这只春蚕从A点出发,沿着台阶面爬到B点,请你求出它爬行的最短路程.

答案：
解:如图，将台阶面展开.在Rt△ACB中,AC=3×3+1×3=12(dm),BC=5dm,由勾股定理得AB²=AC²+BC²,所以AB=13dm.故春蚕爬行的最短路程为13dm.